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一、 历年试题分类统计及考点分布 复合函数求导 复合函数求导 复合函数求导 隐函数求导 隐函数求导 ３.１.无条件极值-显函数 ３.2.无条件极值-隐函数 3.３.条件极值-闭区域边界上的最值 ３.4.条件极值-闭区域上的最值 ４.方向导数与梯度问题 ４.方向导数与梯度问题 例2. 求函数 例3. 设 函数 方向导数公式 梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (c)梯度定义 梯度定义式 三元函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 二元函数 在点 处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为函数 f 的等值线 . （d)梯度的几何意义 旋转曲面 结论1: 任意点梯度向量垂直于该点等值线（的切线） 为了更形象地理解梯度的特征, 不妨将函数 z = f (x, y)的图形想象为一座山, 如果你向梯度方向爬山, 总是沿着梯度垂直的方向走, 那么你一定上不了山, 因为在这种情况下你总是在一 (如图). 如果你 最陡, 最费力; 条等高线上走. 讨论规划最优解问题 梯度方向与函数值变化的关系. 最优解（1，4） （梯度方向是函数值增大最快的方向.） 方向导数 验证： 梯度方向是函数值增大最快的方向. 方向 验证： 这说明 １. 梯度方向是函数值增大最快的方向. f 变化率最大．即梯度方向是函数值增大最快的方向. l与梯度方向重合时 2. f 变化率为零．即沿等值线方向，函数值不变． l与梯度方向垂直时 ３. f 变化率最小．即沿梯度相反方向，是函数值减少最快. l与梯度方向相反时 讨论函数变化率的最值问题 梯度与方向导数的关系 例２： （１）问在点(1, １)处，沿什么方向电压升高最快?其速率为多少? 设一金属板上电压的分布函数为 （２）问在点(1, １)处，沿什么方向电压下降最快?其速率为多少? （３）问在点(1, １)处，沿什么方向电压变化最慢？ f. 关系 方向导数存在 偏导数存在 ? ? 可微 方向导数是梯度在方向 l 上的投影. 梯度是方向导数取得最大值的方向 求 (１２年考研真题４分) 思路解析： (１) 考察梯度定义与计算 求 (０８年考研真题４分) 思路解析： (１) 考察梯度定义与计算 在点（０，１）的梯度． 设函数 (０５年考研真题４分) 思路解析： (１) 考察方向导数定义与计算 单位向量 则 （　　　） 指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 . 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 提示: 则 (96考研真题) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数 在点 处的梯度 解: 则 注意 x , y , z 具有轮换对称性 (92年考研真题) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设有一小山，取它的底面为xoy坐标面，其底部所占 (０２年考研真题１０分) 的区域为 小山的高度函数为 （１）设 为区域D上的一个点，问 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？ 若记此方向导数的最大值为 试写出 的表达式 （２）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚 一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是 在D的边界曲线上寻找出（１）中 达到最大 值的点，试确定攀登起点的位置 机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分对称性 ５、积分对称性问题 定积分 曲线积分 二重函数 三重积分 曲面积分 对弧长 对坐标 对面积 对坐标 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元微分学 第三讲 一、 　历年试题分类统计及考点分布 二、　考点综述及主要解题方法与技巧 三、　真题解析 (1)偏导数与全微分定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)偏导数与全微分计算 二、考点综述与主要解题方法与技巧 (3)极值与最值 (4)方向导数与梯度 (１)偏导数与全微分定义问题 (a)偏导数定义 (b)偏导数定义推广 (c)全微分定义 全微分 可微 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的 (d)偏导数几何意义 连续 可微 (d)偏导数,可微与连续的关系 偏导数存在 在点 (0,0) 可微 . 例1 在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 续, 证: 1) 因 故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 机动 目录