同尾序列的构造.docVIP

一个同尾序列的构造及素性判定 田兴业 成香存 [摘要] 本文研究了素数的素性判定问题。通过改变Fibonacci数列的初始值得到一个新序列，并证明到为尾周期序列，且最小正周期为。进而构造了一个增长速度很快的无穷同尾序列，并通过同余理论证明得到的各项尾数均为7；证明性的给出了满足 的素性判定定理，指出为素数的判定条件。进而有应用Euler定理以及整除性理论证明了判定定理，这样对于素性判定方法，文中完成了的严密证明和构造方法。同时还指出素性判定问题的解决方向，这对于完全解决素性判定问题具有划时代的意义。 [关键词] 同尾序列 同余 欧拉定理 素性判定 次数 引 言 数论被誉为数学的皇后,他的研究对象是我们大家经常接触的整数的性质,,那是一个仓库,贮藏着用之不竭的能引起人们兴趣的真理判定是数论中的著名问题之一，在理论和实践上都有非常广泛的应用。不仅是研究纯数学的基础，也是许多学科的重要工具。它的应用是多方面的，如计算机科学、组合数学、密码学、信息论等。2002年，素性判取得突破性进展：印度科学家提出并证明了素性判的多项式算法填补了这一领域的空白。素性判的判定定理。当然，这对完全解决素性判定问题才仅仅是一个开始，还有更多的路需要去寻找，去腾越！ 正 文 1 尾周期序列的构造 首先引入Fibonacci数列如下： 现改变其初始值如下： 则的特征方程为 　解得 于是 = + 又 　=1 =3 于是有 故 = 列举的项数如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521 843 1364 2207 3571 5778 9349 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 15127 24476 39603 64079 103682 167761 271443 439204 710647 1149851 8260498 31 32 9410349 2 尾周期性的证明 我们称尾数有周期性循环的序列为尾周期序列。往证为尾周期序列，且最小正周期为。 事实上，欲证 只需证 不妨设 容易发现， 假设当 时，结论成立。 有 那么当 时 综上所述，据第二数学归纳法可知，对于 有 那么，由于 有 即 往证是的最小正周期。 假设存在使得 则 即 12 亦 12 得 矛盾。 综上所述，为一个尾周期序列，且最小正周期为 3 同尾序列的构造 注意到中尾数为7的项，设其构成新数列，为新数列的项数。有以上证明知为无穷数列。不妨设为在中的项数，对其进行如下求差运算： 7 47 2207 15127 710647 … 　　　1 2 3 4 5 6 … 4 8 16 20 28 32 … ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ 一次差 4 8 4 8 4 … 同除以4 1 2 1 2 1 … 由高阶差分方程理论容易求出的通项 = 其中为Gauss取整函数 这样就可以得到同尾序列的通项 4 同尾性质的证明 以下对的各项的尾数均为7予以证明，亦即证明　。 首先证明以下引理 引理：若 且,那么当时， 证明：不妨设 则 从而 　　 即 　　又有| 则 亦即 证毕 易知 0 　其中符号表示不同余 于是有两种情况： (Ⅰ) 令 则