第三章随机变量的数字特征技巧.ppt

第三章 随机变量的数字特征 随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的协方差和相关系数 大数定律 中心极限定理 3.1数学期望一.数学期望的定义 3.2 方差一. 定义与性质 三.切比雪夫不等式 (P107) 3.3 协方差，相关系数一.协方差定义与性质 二.相关系数 三. 矩(p98) 四. 协方差矩阵(p98) 3.6 大数定律与中心极限定理3.6.1 大数定律一.依概率收敛 二.几个常用的大数定律 3.6.3. 中心极限定理一.依分布收敛 二.几个常用的中心极限定理 2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace) 3. 方差的性质 (1) D(c)=0 反之，若D（X）=0，则存在常数C，使 P{X=C}=1, 且C=E(X); (2) D(aX)=a2D(X), a为常数； 证明: (3)若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y); 证明: X与Y独立 1. 二项分布B(n, p)： 二.几个重要r.v.的方差(P86) 解法二: 设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则 2. 泊松分布p(?)： 由于 两边对?求导得 或 或 3. 均匀分布U(a, b)： 4.指数分布： 5. 正态分布N(?, ?2)： 思考：1.请给出一个离散型随机变量X和一个连续型随机变量Y，使它们的期望都是2， 方差都是1。 2.已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y= X1+X2+…+Xn ，求E（Y2） 若r.v.X的期望和方差存在，则对任意??0，有 这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。 它有以下等价的形式： 大数定律 已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。 解:由切比雪夫不等式 令 1.协方差定义 (P88)若r.v. X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在, 则称 COV(X, Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}. 为X与Y的协方差, 易见 COV(X, Y)=E(XY）-E(X)E(Y). 当COV(X,Y)=0时，称X与Y不相关。 “X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？ 例2 设(X, Y)在D={(X, Y)：x2+y2?1}上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。 2.协方差性质 (1) COV(X, Y)=COV(Y, X); (2) COV(X,X)=D(X);COV(X,c)=0 (3) COV(aX, bY)=abCOV(X, Y), 其中a, b为 常数； (4) COV(X+Y，Z)=COV(X, Z)+COV(Y, Z); (5) D(X Y)=D(X)+D(Y) 2COV(X, Y). EX:设随机变量X?B（12,0.5),Y ?N(0,1), COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y 的方差与协方差 1. 定义 若r.v. X，Y的方差和协方差均存在, 且DX0,DY0，则 称为X与Y的相关系数. 注：若记 称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且 2.相关系数的性质 (1) |?XY|?1； (2) |?XY|=1?存在常数a, b 使P{Y= aX+b}=1； (3) X与Y不相关? ?XY=0; 1.设(X,Y)服从区域D:0x1,0yx上的均匀分布,求X与Y的相关系数 D 1 x=y 解 以上EX的结果说明了什么？ 解1) 2) 可见，若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。 1. K阶原点矩 Ak=E(Xk), k=1, 2, … 而E(|X|k)称为X的K阶绝对原点矩； 2. K阶中心矩 Bk=E[X-E(X)]k, k=1, 2, … 而E|X-E(X)|k称为X的K阶绝对中心矩； 3. K+l阶混合原点矩 E(Xk Yl), k, l=0, 1, 2, …； 4. K+l阶混合中心矩 E{[X?E(X)]k[Y?E(Y)]l}, k, l=0, 1, 2, …； 1.定义 设X1，… , Xn为n个r.v., 记cij=cov(Xi, Xj), i, j=1, 2, …, n. 则称由cij组成的矩阵为随机变量 X1，… , Xn的协方差矩阵C。即 P101 n维正态分布 例4 设(X,Y)服从N(1,0,32,42,-0.5)分布，Z=