第三章_行列式b第三章_行式b列式b.ppt

解：因为系数行列式 = 所以，由克莱姆法则知，当 且 时， 方程组有唯一解．此时 于是，方程组的解为: 作业：P66 11. 证:　我们对n使用数学归纳法 . 因此原恒等式在n=2时成立. n=2时, 假设原式对n-1阶范德蒙行列式成立, 下证原式对n阶范德蒙行列式也成立． 中,从第n行开始，由下往上，下一行减去 上一行的 倍，得: 按第一列展开，得: 从第1列提取公因子 ，第2列提取公因子 ,…,第 n-1列提取公因子 ，就得: 上式右端的行列式是 n-1阶范德蒙行列式, 由归纳假设可得: 五.递推法 很多情况下,n阶文字行列式直接计算比较困难, 有时可以想办法得到 与 之间的关系式, 进而利用递推的方法得到 的结果. 例3.16.计算n阶行列式 解:将行列式按第一列展开: 等式右端的第一个行列式与原行列式形式上完全一致, 只是行列式的阶数低了一阶，设其为 ,则: 于是得到递推公式: 进一步得: =… = 六.加边法 计算n阶文字行列式往往比较困难,有时我们还可以 进行逆向思维,利用行列式按行(列)展开的思想将行列 式化为阶数更高的行列式后反而会柳暗花明. 例3.17. 计算n阶行列式 解: 利用加边法： 将原行列式加一行一列元素后得到新的n+1阶行列式: 显然这是一个范德蒙行列式. 于是: 而原行列式即D(x)中 的余子式，因此原行列式 的值为D(x)展开式中 的系数的相反数，即: 计算行列式的常用方法： (1) 利用定义、性质算得行列式的值； (2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． （3）降阶法 （4）(拆项)分裂行列式法 （5）数学归纳法、递推法 （6）加边法 §3.4 行列式的应用 行列式在很多领域中都有着广泛的应用,本节仅 介绍其在矩阵理论和一类特殊线性方程组中的应用. 一.方阵可逆的充要条件 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵 称为矩阵 的伴随矩阵. 注意下标 结论： ，其中 定理：若| A | ≠ 0，则方阵 A 可逆，而且 元素 aij 的代数余子式 Aij 位于第 j 行第 i 列 利用第2节中行列式性质的推论5: 推论：若| A | ≠ 0，则 . 推论：若| A | ≠ 0，则 . 证明：若| A | ≠ 0，则 . 证明：若| A | ≠ 0，则 , 推论: 若n阶方阵 ，其中 为 阶方阵 ．则 A可逆的充要条件为: 可逆．此时: 例3.16：求3阶方阵 的逆矩阵. 解：| A | = 1， 则 当n较大时,此方法计算量较大,推荐初等变换的方法. 作业：P65 4(1,7),7(2),9(2). 计算行列式的常用方法： (1) 利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． （2）降阶法 二.矩阵秩的刻画 第2章我们介绍过矩阵秩的概念，这里我们通过行 列式来刻划矩阵的秩.先引入矩阵的k 阶子式的概念. 定义. 设A 是一个 矩阵，在A中任取 k行、k列, 位于这些行和列相交处的元素，按它们原来的相对位置 组成一个k 阶行列式，称为 A的一个k 阶子式． 概念辨析： k 阶子式、余子式、代数余子式 与元素a12相对应的余子式 相应的代数余子式 矩阵 A 的两个 2 阶子式： 矩阵 A共有 18个2 阶子式。 例如: A 相交处的元素构成的2阶子式： 取A的第2，3行和第1，3列 取遍A的所有3阶子式： 即：A有一个不为0的2阶子式, 即：A的所有3阶子式全为0. 我们称D是A的一个最高阶非零子式，该子式的阶数是2. 另一方面，通过初等变换的方法可以算出A的秩为2 .即：矩阵A的秩等于矩阵 A的最高阶非零子式的阶数． 事实上，这个结论对任何矩阵都是成立的. 定理3.4.设矩阵 .则 的充要条件是 A至少有一个r 阶子式不等于零,且A的所有r+1阶子式 （如果存在）全为零．即: 矩阵的秩等于矩阵的最高阶非 零子式的阶数。 矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数． 定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式． 例3.17：求矩阵 A 和 B 的秩，其中 解：在 A 中，2 阶子式 ． A 的 3 阶子式只有一个，即|