第5讲 导数及其应用(教师)第5讲 导数及其应用(教师版)第5讲 导数及其应用(教师版)第5讲 导数及其应用(教师版).doc

导数及其应用 知识点： 导数的概念、几何意义、求导公式及运算法则（含复合函数求导） 导数的应用： ①求切线方程②求单调区间③求极值④求最值（含生活中的优化问题） 函数与导数：构造函数，借助导数工具解决不等式恒成立、不等式证明等综合问题 导数与积分 题型一 导数的概念 例1：若，则= ． 变式：已知= 。 题型二 导数的计算 例2：求下列函数的导数 ⑴； ⑵； （3）； ⑷； ⑸； （6） 变式：(1)等比数列中，，=4，函数，则（ ） B. C. D. 已知， 记， 则　　　． 已知函数则的值为 . 题型三 求切线方程 例3. 【14广东】曲线在点处的切线方程为 . 例4已知曲线y＝x3＋.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程． 2. 【14江西】若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________. 3. 【14江苏】在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则 . 【答案】 4.已知函数f(x),g(x)满足,,则函数的图象在x=5处的切线方程为若动点P,Q分别在曲线和直线2x+y=0上运动，则线段PQ长的最小值为______． 13浙江）已知为自然对数的底数,设函数,则 （　　） A．当时,在处取得极小值 B．当时,在处取得极大值 C．当时,在处取得极小值 D．当时,在处取得极大值 【答案】C （安徽）设，其中为正实数 （Ⅰ）当时，求的极值点； （Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。 本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力. 解：对求导得 ① （I）当，若 综合①,可知 + 0 － 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以,是极小值点,是极大值点. （II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a0，知 在R上恒成立，因此由此并结合，知 （北京）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对，，都有，求的取值范围。 解：(1)，令得 当时，在和上递增，在上递减； 当时，在和上递减，在上递增 (2) 当时，；所以不可能对，都有； 当时有（1）知在上的最大值为，所以对，都有 即，故对，都有时，的取值范围为。 设,讨论函数 的单调性． 解：函数f(x)的定义域为（0，+∞） 综上所述，f(x)的单调区间如下表： （其中） （江苏）在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________ 【答案】 【解析】设则，过点P作的垂线 ， ，所以，t在上单调增，在单调减，. （江西）设. （1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围； （2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值. 【解析】（1）在上存在单调递增区间，即存在某个子区间 使得.由，在区间上单调递减，则只需即可。由解得， 所以，当时，在上存在单调递增区间. （2）令，得两根，，. 所以在，上单调递减，在上单调递增 当时，有，所以在上的最大值为 又，即所以在上的最小值为，得，， 从而在上的最大值为. （陕西理21）设函数定义在上，，导函数，． （1）求的单调区间和最小值； （2）讨论与的大小关系； （3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论． 【解】（1）∵，∴（为常数），又∵，所以，即， ∴；，∴，令，即，解得， 当时，，是减函数，故区间在是函数的减区间； 当时，，是增函数，故区间在是函数的增区间； 所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以的最小值是． （2），设，则， 当时，，即，当时，，， 因此函数在内单调递减，当时，=0，∴； 当时，=0，∴． （3）满足条件的不存在．证明如下： 证法一 假设存在，使对任意成立， 即对任意有 ① 但对上述的，取时，有，这与①左边的不等式矛盾， 因此不存在，使对任意成立． 证法二 假设存在