单位圆与三角函数线单位圆与角函数线三角函数线.pptVIP

1.2.2单位圆与三角函数线 课前预习 * 人教B必修4 x o A T y 高一数学 冯伟 (一)知识目标 1.单位圆的概念. 2.有向线段的概念. 3.用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值. (二)能力目标 1.理解并掌握单位圆、有向线段的概念. 2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来. (三)德育目标 通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间. 学习目标 教学重点 正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值 教学难点 正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值 摩天轮 数学源于生活 我们首先建立下面的坐标系：在观览车转轮圆面所在的平面内，以观览车转轮中心为原点，以水平线为x轴，以转轮半径为单位长建立直角坐标系。 设P 点为转轮边缘上的一点,它表示座椅的位置，记 ，则由正弦函数的定义可知， （1）角的正弦、余弦、正切是怎样定义的？ α P(x,y) （2）角α 的正弦、余弦、正切值与终边上P点的位置是否有关？ 知识链接 (3)数轴上向量的数量（坐标）是如何规定的？ (4) 从定义看出：角α 的三角函数是两个变量的比值。为了简单地计算其正余弦、正切我们可以使分母为1。 当r=1时，即p点到原点的距离为1。所有满足条件的点构成什么图形？ 数轴上的向量 的坐标是一个实数，这个实数的绝对值为线段的长度，如果方向与轴方向相同取正，反之取负。 P(-2,3) M N A B 1、单位圆 半径为1的圆 叫单位圆。 设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1，0)，A’(－1，0). 而与y轴的交点分别为B(0，1)，B’(0，－1). N 1 B ( 0 , 1 ) A ( 1 , 0 ) a M P ( cos a , sin a ) y x O A (- 1 , 0 ) B ( 0 , - 1 ) 问题2：在单位圆中能不能用一条线段直观地表示角α的正弦值、余弦值？如 果能，怎样找 出这条线段？ 问题3：在单位圆中，怎样用一条线段来表示α的正切值？ 问题1：设角的终边与单位圆交于点P，则p点的坐标是什么？ 设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y），过P作x轴的垂线，垂足为M； 做PN垂直y轴于点N， 则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影. 2. 三角函数线 根据三角函数的定义有点P的坐标为(cosα,sinα) 其中cosα=OM，sinα=ON. 这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标. 以A为原点建立y’轴与y轴同向，y’轴与α角的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T ’)，则tanα=AT(或AT ’) 我们把轴上的向量 分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线. 问题5：角与它的三角函数线之间存在着对应关系，这种对应关系是不是函数关系？与三角函数线的数量之间呢？ 角的三角函数线是三角函数定义的几何表示，它的数量等于这个角的三角函数值。 问题4：观察思考：三角函数线的方向和符号？当角α的终边在坐标轴上时，它的三角函数线及其数量是如何变化的？ 例1：作出 P M 的正弦线、余弦线和正切线。 o x y A(1,0) T 典型例题 解：在直角坐标系中作单位圆。以ox轴方向为 始边作 的终边与单位圆交于P点，作 PM⊥ox轴，垂足为M，由单位圆与ox轴正方 向的交点A作ox轴的垂线与OP的反向延长线 交于T点，则 练习1.分别作出 、 的正弦线、余弦线、正切线。 例2.比较大小： (1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5; (3) tan2和tan3. 解：由三角函数线得 sin1sin1.5 cos1cos1.5 tan2tan3 练习2 若 则下列各式中正确的（ ） C 例3. 已知sinx=0.5，求角x的大小.(0ox360o) 解：由在y轴上找到y=0.5的点，做x轴的平行线，交单位圆于点P和P’两点，由三角函数线知 x1=30o, x2=150o. 变式：去掉 0ox360o的限制呢？ sinα=MP, cosα=OM, 由MP+OMOP 知， sinα+cosα1 变式： 比较 与 1 的关系。 y x