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1.5 事件的独立性 直观说法： 对于两事件，若其中任何一个事件的发生 不影响另一个事件的发生，则这两事件是独立的. 两个事件的独立性 定义 若事件 A 与 B 满足： P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立. 2.1 随机变量 定义 设 ? ={?}为样本空间， 称定义在?上的实值函数X=X(?)为随机变量. 两类随机变量 若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可列个，则称 X 为离散随机变量. 若随机变量 X 的可能取值充满某个区间 [a, b]，则称 X 为连续随机变量. 2.2 随机变量的分布函数 分布函数定义：设X为一随机变量，对任实数 x， 称 F(x)=P( X? x) 为 X 的分布函数. 性质： (1) F(x) 单调不降； (2) 有界：0?F(x)?1，F(??)=0，F(+?)=1； (3) 右连续: F(x+0) =F(x) 2.3 离散随机变量的分布列 设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，…… 称 事件{X=xi }的概率 pi=P(xi ) =P(X=xi)， i =1, 2, …… 为 X 的分布列 分布列也可用表格形式表示： 分布列的基本性质 (1) pi ? 0， (2) 2.4 连续随机变量及密度函数 3.1 数学期望 定义 设离散随机变量X的分布列为 P(X=xn) = pn, n = 1, 2, ... 若级数 连续随机变量的数学期望 定义 设连续随机变量X的密度函数为p(x), 若积分 注 意 点 数学期望简称为期望. 数学期望又称为均值. 数学期望是一种加权平均. 3.2 数学期望的性质 定理 设 Y=g(X) 是随机变量X的函数， 若 E(g(X)) 存在，则 3.3 随机变量的方差与标准差 数学期望反映了X 取值的中心. 方差反映了X 取值的离散程度. 3.4 方差与标准差 定义 若 E(X?E(X))2 存在，则称 E(X?E(X))2 为 X 的方差，记为 注 意 点 (2) 称 3.5 方差的性质 随机变量的标准化 3.6 切比雪夫不等式 3.7 常用离散分布 1 二项分布 记为 X ~ b(n, p). X为n重伯努里试验中“成功”的次数, 2) 泊松分布 3 ) 几何分布 常用离散分布的数学期望 常用离散分布的方差 3.8 常用连续分布 正态分布、均匀分布、指数分布、 伽玛分布、贝塔分布。 .1) 正态分布 常用连续分布的数学期望 常用连续分布的方差 3.9 分布的其它特征数 k阶矩 变异系数 分位数 偏度系数，峰度系数等 1) k 阶原点矩和中心矩 .2) 变异系数 3) 分位数 注 意 点 上侧 p -- 分位数 4) 中位数 偏度系数和峰度系数 3.10 多维随机变量及其联合分布 .1) 多维随机变量 定义 若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X, Y) 是两维随机变量. 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量). 2) 联合分布函数 定义 3) 联合分布列 二维离散随机变量 二维离散分布的联合分布列 联合分布列的基本性质 4) 二维连续随机变量的联合密度函数 设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在非负可积函数 p(x, y)，使得 联合密度函数的基本性质 5)、二维正态分布 .1) 边际分布函数 .2) 边际分布列 3) 边际密度函数 4) 随机变量间的独立性 若满足以下之一: i) F(x, y) = FX(x)FY(y) ii) pij = pipj iii) p(x, y) = pX(x)pY(y) 则称 X 与Y 是独立的， 注 意 点 (1) X 与Y是独立的其本质是： 注 意 点 (2) 分布的可加性 二项分布的可加性 泊松分布的可加性 正态分布的可加性 独立正态变量的线性组合仍为正态变量 伽玛分布的可加性 ?2 分布的可加性 注 意 点 多维随机变量函数的数学期望 2) 数学期望与方