一元二次方程根的分布.doc

二次函数(a≠0)的零点 分布 (a≠0)的零点二次方程的根抛物线与轴交点的横坐标，所以研究方程的实根 (a≠0)的零点的情况，可从的图象上进行研究．若在内研究方程的实根情况，只需考察函数与轴交点个数，根据判别式的符号，从而判断出的情况．大于0，有两个零点； （2）等于0，有两个相同的零点； （3）小于0 ，函数无零点。 （二）若根是分布在某个特定的区间，则要由二次函数的图像与区间的关系来确定。 设方程的不等两根为且，相应的二次函数为(a≠0)，方程的根即为二次函数(a≠0)图象与轴的交点，交点的分布情况大致可分为以下情况： 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 表二：（两根与的大小比较） 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 表三：（根在区间上的分布） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论（不讨论） 表四：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时， 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况： 若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求； 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或 二．例题选讲 例．已知方程有两个负根，求的取值范围． 有两个不等正实根，求实数的取值范围。 变式2：已知二次方程的两个根都小于1，求的取值范围． 有一正根和一负根，求实数的取值范围。 变式1：已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。 变式2：求实数的范围，使关于的方程． （１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小． （２）有两个实根，且满足． （３）至少有一个正根． 如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围. 例只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。 变式：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围. 已知方程2x2 – 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范围． 已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m的取值范围． 例已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围． 二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用． 例求函数y = (1x2)的值域． 例已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围． 例．设关于的方程R）， （1）若方程有实数解，求实数b的取值范围； （2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。 已知方程在上有两个根，求的取值范围． 三．巩固练习 1．已知二次方程有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围． ．已知二次方程有且只有一个实根属于（1，2），且都不是方程的根，求的取值范围． ．已知二次方程的两个根都属于（–1，1），求的取值范围． ．若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a的取值范围． ．例题选讲 例．已知方程有两个负根，求的取值范围． 解：依题意有 　　　． 有两个不等正实根，求实数的取值范围。 解：由