2012年全国高中数学联赛西赛区预赛试题参考解答及评分标准2012年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准2012年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准2012年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准.docVIP

2012年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题 参考解答及评分标准 一、选择题（每小题6分，共36分） 1、选B. 解：时，取得最小值. 2、选C. 解：令，得 . 又由是的系数，是的系数知：，，从而 ，故 ， . 3、选A. 解：由已知得函数f(x)的值以6为周期重复性出现所以f（20）= f（）=1, 故选为偶函数，则考虑在时，恒有 ． 所以当，且时，恒有． 由于不等式的解集为，不等式 的解集为．因此当时，恒有 . 故满足条件的a值有无数多个. 5、选B. 解：因为，所以， ；； ；． 又，故故选B. 6、选B. 解：将1～5如图排列，，此时最大数两边是，次大数两边是，所求和值最小，任何调整都将使“和值”变大；此时，但是要和为17，因此还得增加2，由于5个数两两不同，故2增加在最大数5上，此时“和值”最小，最小值为： . 二、填空题（每小题9分，共54分） 1、 . 解： （1） （2） （1）-（2）化简得 ；（3） （1）×15+（2）×8化简得；（4） 设的夹角为，则，. 2、. 解：在 的延长线上取一点 ，使 . 易证，，平面． 故 ．而 ，G到平面 的距离为 ． 故 ． 3、. 解：画树状图可得 . 4、. 解： 由已知及韦达定理，有 ，，，从而代数式= = = = =625. 5、 . 解：易知，，. 而渐近线方程为. 又右焦点到渐近线的距离为，故 . 6、 . 解：由及题设知，个位数字的选择有5种. 因为，故 （1） 由知，首位数字的可能选择有种； （2） 由及知，首位数字的可能选择有种. 于是，符合题设的不同点的个数为. 三、解答题（每小题20分，共60分） 1、解：（I）若为偶数，则， (i)若为偶数，则 [1]若为偶数，则 (1)若为偶数，则 ①若为偶数，则符合 ②若为奇数，则符合 (2)若为奇数，则，但不论m是奇数还是偶数，均不会使的分母出现3. [2]若为奇数，则 (1)若为偶数，则 ①若为偶数，则符合 ②若为奇数，则舍去 (2)若为奇数，则，但不论正整数m是奇数还是偶数，均不会使等于0.(ii)若为奇数，则，但从正整数m递推不可能使的分母出现3（II）若为奇数，则，但不论正整数m是奇数还是偶数，均不会使等于0. 综上所述m所有可能的取值为{32，5，4}.、，分别取、的中点、，则四边形是平行四边形. …………………………5分 于是，得, 又由，，, 从而 ≌，. ……………………10分 故 ， 又 ，，得 ， 由于 ，， 从而 、、、 和、、、 分别四点共圆.……………………15分 于是，，， 故 ……………………………………20分 3、解：(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6. ………………5分 因为 又 ，所以 ，由题意得 . 此时，|PA|=|PB|，P点坐标为 P(0，±4). 所以C点的轨迹方程为 ………………………………10分 (2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 显然有 △≥0， 所以 而由椭圆第二定义可得 ………………15分 只要考虑 的最小值，即考虑取最小值. 当k=0时，取最小值16. 当直线MN的倾斜角为900时，x1=x2=-3,得 . 但 在，故，这样的M、N不存在，即的最小值的集合为空集. ……………………20分 2