线性代数复习参考资料-广东省邮政培训中.doc

《工程数学—线性代数》复习参考资料 ——《线性代数》的复习尤其要求详细阅读人手一册的《综合练习题》 授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师） 第一章 行列式 一、全排列及其逆序数（理解） 1、把n个不同元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。（也称排列） 2、对于n个不同元素，先规定元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。 例题 求排列32514的逆序数 解 3的逆序数为0； 2的逆序数为1； 5的逆序数为0； 1的逆序数为3； 4的逆序数为1； 于是这个排列的逆序数为 二、n阶行列式的定义（理解） 定义 设有个数，排成n行n列的数表， a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n ……………… an1 an2 … ann 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号，得到形如 （1） 的项，其中为自然数的一个排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n！个，因而形如（1）式的项共有n！项，所有这n！项的代数和 称为n阶行列式，记作 ， 简记为，数称为行列式的元素。元素的第一个下标称为行标，表明该元素位于第行，第二个下标称为列标，表明该元素位于第列， 三、行列式的性质（掌握） 记 ， 行列式DT称为行列式D的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。 第行（或列）乘以k，记作（或） 推论 行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 第行（或列）提出公因子k，记作（或）。 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。 性质5 若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如 ， 则D等于下列两个行列式之和： 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。 以数k乘第列加到第列上，记作； 以数k乘第行加到第行上，记作； 计算行列式常用的一种方法就是利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。P16例7、8。 （可以证明，对于上三角行列式D有： 当然，把任意行列式化根据以上性质为上三角形行列式需要一定的技巧。） 四、行列式按行（列）展开（掌握） 设 在n阶行列式中，把所在的第行和第列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素的余子式，记作；记 ， 叫做元素的代数余子式。 引理 一个n阶行列式，如果其中第行的元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即 定理 行列式等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 或 推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 ， 或 。 五、四阶行列式的计算（重点掌握） 例1 计算行列式 解： 例2 计算行列式 解： 五、克拉默法则（注意，计算量比较大） 设有n个未知数、、…、的n个线性方程的方程组 （1） 克拉默法则 如果线性方程组（1）的系数笔列式不等于零，即 那么，方程组（1）有唯一解 ，，…，。 其中是把第数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即 第二章 矩阵及其运算 一、矩阵的概念（理解） 1、由个数组成的m行n列的数表 称为m行n列矩阵，简称矩阵，记作 也常记作。 这个数称为矩阵A的元素，简称元，数称为元。 以数为元的矩阵可简记作（）或。 2、行数和列数都等于n的矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵，n阶方阵A也记作。 3、只有一行的矩阵 称为行矩阵，又称行向量。为避免元素间的混淆，行矩阵也记作 只有一列的矩阵 称为列矩阵，又称列向量。 4、两个矩阵的行数相等，就称它们是同型矩阵，如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即