数值第一章.ppt

第一章 数值分析与科学计算引论 1.1 数值分析对象、作用与特点 许多科学问题的解决都离不开科学计算。本 门课程将着重绍进行科学计算所必须掌握的一些 最基本、最常用的算法,并分析其误差。 1.2 数值计算的误差 2. 误差与有效数字 算法的数值稳定性 病态问题与条件数 1.4 数值计算中算法设计的技术 * * 数值分析包括：函数的数值逼近；数值积分与数值微分；非线性方程的数值解法；数值线性 代数；微分方程的数值解法。 1. 来源与分类 /* Source Classification */ 从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 /* Modeling Error */ 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */ 求近似解 —— 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ ) 机器字长有限 —— 舍入误差 /* Roundoff Error */ 数值分析讨论后两个误差。 1.2 数值计算的误差 ? 绝对误差 /* absolute error */ 其中x 为精确值，x* 为x 的近似值。 ，例如： 工程上常记为 ，称为绝对误差限 /* accuracy */， 的上限记为 ? 相对误差 /* relative error */ x 的相对误差上限 /* relative accuracy */ 定义为 ?有效数字 /* significant digits */ 用科学计数法，记 （其中 ）。若 （即 的截取按四舍五入规则），则称 为有n 位有效数字，精确到 。 例 问： 有几位有效数字？请证明你的结论。 证明： 有4位有效数字，精确到小数点后第3 位。 1.2 数值计算的误差 ?有效数字与相对误差的关系 ? 有效数字 ? 相对误差限 已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为 1.2 数值计算的误差 ? 相对误差限 ? 有效数字 已知 x* 的相对误差限可写为 则 可见 x* 至少有 n 位有效数字。 1.2 数值计算的误差 例：为使 的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 解：假设 ?* 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为 要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足 已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n 6 ? log6，即 n ? 6，应取 ?* = 3.14159。 1.2 数值计算的误差 分析：e*(y) = f (x*) ? f (x) e*(x) = x* ? x = f ’(? )(x* ? x) x* 与 x 非常接近时，可认为 f ’(? ) ? f ’(x*) ，则有： |e*(y)| ? | f ’(x*)|·|e*(x)| 即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f ’(x*)|倍。故称| f ’(x*)|为放大因子 /* amplification factor */ 或 绝对条件数 /* absolute condition number */. 问题：对于y = f (x)，若用x* 取代x，将对y 产生什么影响？ 1.2 数值计算的误差 例:计算 y = ln x。若 x ? 20，则取 x 的几位有效数字可保证 y 的相对误差 0.1% ? 解：设截取 n 位有效数字后得 x* ? x，则 ? n ? 4 估计 x 和 y 的相对误差上限满足近似关系 1.2 数值计算的误差 用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的. 1.3 避免误差危害的若干原则 对一个数值问题本身, 如果输入数据有微小扰动（即误 差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，这就是病 态问题. 例如计算函数值 时， 若 有扰动 ，其 相对误差为 ， 函数值 的相对误差为 1.3 避免误差危害的若干原则 （3.3） 称为计算函数值问题的条件数. 相对误差比值 自变量相对误差一般不会太大，如果条件数 很大， 将引起函数值相对误差很大，出现这种情况的问题就是病态问题. 1.3 避免误差危害的若干原则 例如， ， 它表示相对误差可能放大 倍. 如 ， 有