有限元试题答案.doc

1.概述 （1）有限元的概念 将结构物看成由有限个划分的单元组成的整体，以单元结点上的值作为整个单元的平均值。它是一种化整为零、集零为整、化未知为已知的方法。 （2）有限元的产生及发展 产生： 在寻找近似解法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限单元法（Finite Element Method)。有限单元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，它的形成直接得益于土木结构分析中的矩阵位移法和在飞机结构分析中所获得的成果。由于该类控制方程的求解难以使用已有的解析法，人们转而寻求另一种方法，称为数值方法。该类方法的特点是：进行大量的数值运算，逐步逼近精确解，最终得到能够令人满意的近似解。有限元就是数值解法之一。 发展： 1)20世纪40年代，麦克亨利（McHenry）、雷尼柯夫（Hrenikoff）、纽马克（Newmark）等首次提出用框架方法求解力学问题，用简单弹性杆排列代替连续体的各个小部分，能够得到连续问题的相当好的解答。 2)1943年，柯兰特（Courant）第一次假设挠曲函数在一个划分的三角形单元集合体的每个单元上为简单线性函数。 3)1955年，德国斯图加特大学的J.H. Argyris教授发表了一组能量原理与矩阵分析的论文，奠定了有限元方法的理论基础。 4)1956年，特纳（Turner）、克拉夫（Clough）等将刚架分析中的位移法扩展到弹性力学平面问题，并用于飞机的结构分析和设计，系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达式，并求得了平面应力问题的正确解答。 5)1960年，克拉夫（Clough）在分析弹性力学问题时，第一次提出并使用“有限元方法”的名称。 6)1972年，Oden出版了第一本处理非线性连续体的专著 7)我国科技工作者：如胡昌海提出了广义变分原理，钱伟长最先研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间的关系，冯康研究了有限元方法的精度和收敛性问题，等等。 从数学角度看，有限元的基本思想是1943年 产生的，但由于当时计算条件限制，这种方法并没有得到足够重视和发展。 从应用角度看，有限元则是在电子计算机出现和发展后开始的。有限元的第一个成功应用是克拉夫(clough) 等人在分析飞机结构时完成的。1960年克拉夫在“平面应力分析的有限元法”一文中正式使用了“有限元法”这一名称。此后，有限元法及应用得到了迅速发展。 从理论上看，有限元是处理连续介质问题的一种普遍方法，其基本理论基础是：基于变分原理的里兹（Ritz）法。 从实践上看，有限元法已广泛应用于许多学科。最初应用在连续体结构力学分析中，后来已广泛应用于求解流体力学、热传导、电磁场等多个领域。 由于其应用的广泛性，并且计算机技术的迅速发展，已经产生了许多商品化的有限元软件。这些软件使得一般的工程技术人员可以轻而易举地利用有限元方法解决工程计算问题。目前已有几百种有限元软件。 （3）控制方程的概念 求在给定边界条件下某些微分方程的解，这样的微分方程称为控制方程。 （4）有限元的分析过程、步骤，每个步骤的主要内容、相关术语等 1、结构的离散 　　将待分析的结构从几何上用线或面划分为有限个单元，其中单元的大小和数目根据计算精度的要求和计算机容量来决定。其步骤： 　　● 建立单元 　　● 对单元和结点编号 　　● 准备必需的数据信息 　　● 建立坐标系 2、 确定单元的位移模式 　　将单元中任意一点的位移近似地表示成单元结点位移的函数，即位移模式或位移函数，用 或 表示，写成：d =Nδe　　　　 这里： d— 单元中任意一点的位移矩阵， 　　　 N— 形函数矩阵 　　　 δe— 单元结点位移矩阵。 　　位移函数的假设合理与否，直接影响到分析的计算精度、效率、可靠性。 3、单元特性分析 （1）几何方程：应变与位移之间的关系 　　　　 ε=Bδe 这里： ε—单元中任意一点的应变矩阵 　　　 B—变形矩阵或应变矩阵 （2）物理方程：应力与应变之间的关系（Hooke定律） 　　　　σ=DBδe=Sδe 这里： σ—单元中任意一点的应力矩阵 　　　 D—弹性矩阵，由单元材料的弹性常数确定(弹性模量) 　　　 S—应力矩阵。 （3）利用虚位移原理或最小势能原理建立单元刚度方程： 　　　　　Keδe=Fe+FeE 这里： Fe—单元结点力矩阵 　　　 FeE—单元等效荷载矩阵 　　　 Ke—单元刚度矩阵， 4、建立表示整个结构结点平衡的方程组 　　　　KΔ=Pd+Pe=P 这里： K－整体刚度矩阵 　　　 Δ－整体结点位移矩阵 　　　 P－直接结点荷载 　　　 Pe－等效结点荷载 　　　 Pd －整体综合结点荷载矩阵 几个问题说明 1、单元划分：单元划分是