连续函数的运算与初等函数的连续性.pptVIP

* 第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性 一、连续函数的四则运算 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 一、连续函数的四则运算 定理1 例如 结论 三角函数在其定义域内皆连续. 二、反函数与复合函数的连续性 1.反函数的连续性 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. 定理2 (或递减) (或递减) 即 (递减) (递减) 证明 例如 反三角函数在其定义域内皆连续. 同理 结论 1 1 定理3 2.复合函数的连续性 定理的意义： (2) 连续函数极限符号可以与函数符号互换. 证明 f 连续 f 连续 例1 解: 特别地 连续 例2 解: 同理可得 例3 解: 定理4 即 连续函数的复合函数是连续的. 证明 由定理3，可得 f 连续 g连续 例如 o 三、初等函数的连续性 (1) 三角函数在它们的定义域内是连续的. 已有结果： (2) 反三角函数在它们的定义域内是连续的. (均在其定义域内连续 ) 基本初等函数在定义区间内连续. 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例如 (端点为单侧连续) 说明 (1) 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内 不一定连续， 例如, (孤立点) 在0点的邻域内没有定义. 因此它无连续点. 注意定义区间与定义域的区别; (2) 初等函数求极限的方法代入法. 例4 解: 例5 解: ---求极限的又一种方法. 分子有理化 例6 解: 等价无穷小代换 说明 说明 如例6 大于0常数 常数 极限不是常数 注意使用条件 * *