6.2(新课标)同角三角函基本关系式及诱导公式(典型例题+习题+答案)老师10页6.2(新课标)同角三角函数基本关系式及诱导公式(典型例题+习题+答案)老师10页6.2(新课标)同角三角函数基本关系式及诱导公式(典型例题+习题+答案)老师10页6.2(新课标)同角三角函数基本关系式及诱导公式(典型例题+习题+答案)老师10页.doc

同角三角函数基本关系式及诱导公式 必修四：(新课标)同角三角函数基本关系式及诱导公式(典型例题+习题+答案) 1． 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan α. 2. 诱导公式 1． (2011·大纲全国)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________. 答案　－ 解析　∵tan α＝2，∴＝2，∴sin α＝2cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，∴(2cos α)2＋cos2α＝1，∴cos2α＝. 又∵α∈，∴cos α＝－. 2． 若tan α＝2，则的值为________． 答案　 解析　原式＝＝. 3． 已知α是第二象限的角，tan α＝－，则cos α＝________. 答案　－ 解析　∵α是第二象限的角，∴cos α0. 又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－， ∴cos α＝－. 4． sin π·cos π·tan的值是________． 答案　－ 解析　原式＝sin·cos·tan ＝·· ＝××(－)＝－. 5． 已知cos＝，则sin＝________. 答案　－ 解析　sin＝sin ＝－sin＝－cos＝－. 题型分析 深度剖析 题型一　同角三角函数基本关系式的应用 例1　已知在△ABC中，sin A＋cos A＝. (1)求sin Acos A的值； (2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A的值． 思维启迪：由sin A＋cos A＝及sin2A＋cos2A＝1，可求sin A，cos A的值． 解　(1)∵sin A＋cos A＝① ∴两边平方得1＋2sin Acos A＝， ∴sin Acos A＝－. (2)由sin Acos A＝－0，且0Aπ， 可知cos A0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形． (3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A ＝1＋＝， 又sin A0，cos A0，∴sin A－cos A0， ∴sin A－cos A＝.② ∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－， ∴tan A＝＝＝－. 探究提高　(1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子． (1)已知tan α＝2，求sin2α＋sin αcos α－2cos2α； (2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 解　(1)sin2α＋sin αcos α－2cos2α ＝ ＝＝. (2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin2α＝4sin2β，① tan2α＝9tan2β，② 由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③ ①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4， ∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝，即cos α＝±. 题型二　三角函数的诱导公式的应用 例2 　(1)已知cos＝，求cos的值； (2)已知πα2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值． 思维启迪：(1)将＋α看作一个整体，观察＋α与－α的关系． (2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值． 解　(1)∵＋＝π， ∴－α＝π－. ∴cos＝cos ＝－cos＝－， 即cos＝－. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－， ∴cos α＝.∴sin(3π＋α)·tan ＝sin(π＋α)·＝sin α·tan ＝sin α·＝sin α·＝cos α＝. 探究提高　熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧． (1)化简：； (2)已知f(x)＝，求f的值． 解　(1)原式＝＝ ＝＝－＝－·＝－1. (2)∵f(x)＝＝－cos x·tan x＝－sin x， ∴f＝－sin＝sin ＝sin＝sin ＝. 题型三　三角函数式的化简与求值 例3　(1)已知tan α＝，求的值； (2)化简：. 思维启迪：三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式． 解　(1)因为tan α＝，所以 ＝＝＝. (2)原式＝ ＝＝＝－1. 探究提高　在三角变换中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简． 已知sin＝－，α∈(0，π)， 求的值． 解　∵sin＝－，∴cos