线性代数课本课件 5.3.pptVIP

* * 1、基和维的概念 2、再论线性代数方程组的解 §5.3 向量空间的基和维 定义 设V为向量空间? 如果r个向量a1? a2? ???? ar?V? 且满足 (1) a1? a2? ???? ar 线性无关? (2)V中任一向量都可由a1? a2? ???? ar 线性表示? 那么? 向量组a1? a2? ???? ar 就称为向量空间V的一个基? r 称为向量空间V的维数? 并称V为 r 维向量空间? 注 （1）只有零向量的向量空间没有基? 规定其维数为0? （2）若把向量空间V看作向量组? 则向量空间V的基就是向量组的最大无关组? 向量空间V的维数就是向量组的秩? （3） 向量空间的基不唯一. 5.3.1 基和维 定义 如果在向量空间V中取定一个基a1? a2? ???? ar? 那么V中任一向量 x 可唯一地表示为 x??1a1??2a2? ??? ? ?rar? 数组 ?1? ?2? ???? ?r 称为向量x在基a1? a2? ???? ar中的坐标? 在向量空间Rn中以单位坐标向量组e1? e2? ???? en为基? 则向量x?(x1? x2? ???? xn)T可表示为 x?x1e1?x2e2? ??? ?xnen? 可见向量在基e1? e2? ???? en中的坐标就是该向量的分量? 注 线性空间V 的任意向量在不同的基下的坐标一般不同, 但一个向量在一组基下的坐标是唯一的． 注 求一向量在一组基下的坐标表示归结为讨论线性代数方程组有无解的问题. 解 例 设A? a1?(2? 2? ?1)T? a2?(2? ?1? 2)T? a3?(?1? 2? 2)T? B? b1?(1? 0? ?4)T? b2?(4? 3? 2)T? 验证a1? a2? a3是R3的一个基? 并求b1? b2在这个基中的坐标? 解 所以b1? b2在基a1? a2? a3中的坐标依次为 例 设A? a1?(2? 2? ?1)T? a2?(2? ?1? 2)T? a3?(?1? 2? 2)T? B? b1?(1? 0? ?4)T? b2?(4? 3? 2)T? 验证a1? a2? a3是R3的一个基? 并求b1? b2在这个基中的坐标? 例 在R3中取定一个基a1? a2? a3? 再取一个新基b1? b2? b3? 设A?(a1? a2? a3)? B?(b1? b2? b3)? 求用a1? a2? a3表示b1? b2? b3的表示式(基变换公式)? 并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式)? 即基变换公式为 (b1? b2? b3)?(a1? a2? a3)A?1B? 矩阵P?A?1B称为从旧基到新基的过渡矩阵? 解 由(a1? a2? a3)?(e1? e2? e3)A? 得 (e1? e2? e3)?(a1? a2? a3)A?1? 故 (b1? b2? b3)?(e1? e2? e3)B ?(a1? a2? a3)A?1B? 解 基变换公式为(b1? b2? b3)?(a1? a2? a3)A?1B? 设向量 x 在旧基和新基中的坐标分别为y1? y2? y3和z1? z2? z3? 这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式? 例 在R3中取定一个基a1? a2? a3? 再取一个新基b1? b2? b3? 设A?(a1? a2? a3)? B?(b1? b2? b3)? 求用a1? a2? a3表示b1? b2? b3的表示式(基变换公式)? 并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式)? 定理 设b1、…、bs 及 f1、…、ft 是向量空间的任两组基，则必有 s=t. 定义 向量空间V 的任一基向量的个数, 称为空间V 的维（dimension）, 记这个数为 dimV 证 利用等价向量组 根据向量空间基的定义可知两组基等价的， 从而其秩相等： 由基的定义知两组向量组都线性无关，即 从而 由于Rn有一组明显的自然基， 故有 dim Rn = n , 即Rn是n维向量空间. 若S是Rn的任一子空间，则 注 尽管子空间S的维可以低于n，但它的任一向量却是n维向量, 亦即空间维数与向量维数是不同的概念. 例 考虑练习2中给出的向量空间 其中 试求 dimV1. 解 由于 其中 故知V1中任一向量x皆可依 a1, a