第八章虚拟变量回归.docx

经典线性回归模型默认回归系数为常数，没有考虑不同类别观测值对应的回归系数可能是有差别的，即没有把相关的定性影响因素引入到模型中来。例如，研究居民的消费行为时，构建如下模型： 其中，Y为消费支出；X为收入。该模型默认城镇居民和农村居民的消费行为是无差异的，但如果城乡居民的消费行为存在差异，则对上述模型直接采用OLS估计，结果将是不精确的。为了有效的将定性影响因素反映到回归模型中，就需要采用虚拟变量方法。 第八章 虚拟变量回归 第一节 虚拟变量 第二节 虚拟解释变量的回归 第三节 虚拟被解释变量的回归 第四节 案例 第一节 虚拟变量 一、虚拟变量（Dummy Variables）定义 定义：就是用一个取值为0和1的变量来表示定性变量中的一个属性类别，1表示出现该属性，0表示没有出现该属性。虚拟变量也叫设计变量（Design Variables，Hosmer Lemeshow，1989）、代理变量（Proxy Variables，Kennedy，1981）等。 作用：回归分析中，虚拟变量方法可有效的衡量诸如性别、战争、地震、政治动乱、经济政策变化及季节等定性变量对因变量的影响。 二、虚拟变量设置规则 如果研究的定性变量包含M个类别，将构建个M-1个虚拟变量，省略的那个类别可视为参照组。 如在消费模型中，考虑区域因素（东部，中部，西部）影响，可构建2个虚拟变量： 注: 如果针对包含M个类别的定性因素构造M个虚拟变量，则会陷入虚拟变量陷阱（Dummy Variable Trap），即由于 而带来了完全的多重共线性。 在没有截距项的模型中，对于包含M个类别的定性因素，构建M个虚拟变量虽不会产生虚拟变量陷阱，但此时检验截距的差值将变的更困难，而且没有截距项时怎样计算 也没有一个一致同意的方法，所以该方法很少人使用（Jeffrey M. Wooldridge，2000）。 第二节 虚拟解释变量模型 采用虚拟变量可有效的衡量不同观测类别对应回归参数的差异性，其中以加法方式引入虚拟变量可以反映不同类别对应截距的不同，以乘法方式引入虚拟变量可以反映不同类别对应斜率的不同。 一、加法模型 以加法方式引入虚拟变量，即将虚拟变量当作自变量直接引入模型。 研究居民的消费行为时，考虑居民来源（城镇、农村）这个因素，则需构建虚拟变量： 加法模型： 如果该模型设定正确，则有 ，此时有： 可见，截距虚拟变量D的系数 反映了城乡居民之间自发性消费水平的差异。 二、乘法模型 以乘法方式引入虚拟变量，即将虚拟变量与解释变量乘积项当作自变量直接引入模型。 在消费模型中以乘法方式引入虚拟变量，即引入虚拟变量和自变量的交互乘积项DX ： 如果该模型设定正确，此时有： 可见，城镇居民的边际消费倾向为 ，农村居民的边际消费倾向为 。 如果不同属性类别对应的截距项和斜率项都是有差异的，可在回归模型中同时引入虚拟变量的加法方式和乘法方式，结果如下： 对于城镇居民和农村居民这两个类别，有总体回归函数如下： 可见， 和 分别表示城镇居民与农村居民的消费函数在截距和斜率上的差异。 注： 对于包含多个类别（M个）的属性变量，构建M-1个虚拟变量，如在消费模型中，考虑区域因素（东部，中部，西部）影响，可构建2个虚拟变量： 若考虑不同区域居民对应回归模型截距的不同，可构建模型如下： 则有： 如果模型中包含不止一个定性变量，利用虚拟变量还可以研究定性变量对因变量的交互影响。如在消费模型中，同时考虑性别（男，女）和来源（城镇，农村）两个因素，构建虚拟变量如下： 可以加法方式引进两个虚拟变量的交互乘积项 ，构建模型如下： 则有： 可见， 反映性别的影响， 反映了居民来源影响，而 反映了性别和来源的交互影响。 对于定序尺度的定性变量，如果所分等级不多，也可根据虚拟变量个数比分类数少一的原则引进虚拟变量。例如，考虑教育背景（大学以下，大学，大学以上）因素对居民消费的影响，可构建2个虚拟变量： 如果定序变量所分等级过多，则很难对每个水平都包括进来一个虚拟变量。此时，可将定序变量分为几个类别，再构建虚拟变量（Jeffrey M. Wooldridge，2000）。 虚拟变量不仅可以代表质的因素，还可以代表数量因素。在经济关系中常有这样的现象：当自变量X的值达到某一水平X*之前，与因变量Y存在某种线性关系；当自变量X的值达到某一水平X*之后，与因变量Y的关系就会发生变化。这就是所谓的分段线性回归（Piecewise Linear Regression）。此时，可设定虚拟变量： 构建包含门槛水平 X*的分段线性回归模型： 于是有两个不同阶段的回归函数： 显然，虚拟变量方法可有效的实现分段回归，其中两阶段的截距分别为 和 ，斜率分别为 和