放缩法证明数列不等式的探究.docVIP

放缩法证明数列不等式的探究确定放缩目化繁为简,化难为易求和求和放缩目求和裂项求和逐项放大或缩小或固定项,放缩项;放缩； (2)在分式中放大或缩小分式的分子或分母。 如：；； (3) 利用基本不等式进行放缩。如： ； (4) 构造函数利用函数单调性进行放缩。 如lgalg(a+b), lgblg(a+b),其中a0,b0；ln(1+n)≤n；lnn≤n-1 (5) 利用二项式定理展开式放缩。如证： 2n ＞n (6) 对不等式的某个部分进行换元，可显漏问题的本质，然后再进行放缩 . （7）利用常用结论放缩； ②；（程度大） ③（程度小） ④ ⑤ ⑥，，等 ⑦ 其中n2 例1．求证：1+++…+2- (n≥2,n∈N*). 法一：利用放缩易证。 法二：逆用公式法、放缩法 逆用数列的前n项和的方法来求。设想右端2-是某数列{an}的前n项和，即令Sn=2-,则n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2-)-(2-)=-=, 这样问题就转化为,而这显然。 ∴命题成立。 例2：数列， ⑴是否存在常数、，使得数列是等比数列，若存在，求出、的值，若不存在，说明理由。 ⑵设，证明：当时，.证：⑴解:设 ， 即 故 ) ∴ 又 故存在是等比数列 ⑵证明：由⑴得 ∴， 故 ∵ ∴ 现证. 当， 故时不等式成立 当得 ，且由， ∴ 例3 已知数列满足 （1）求证：数列（）是等比数列； （2）设，数列的前n项和，求证：对任意的， 解：（1） ，，又，所以数列（）是以3为首项，-2为公比的等比数列 （2）由（1）知，当，则 = 又对任意的， 评注：逐项放缩固定项,放缩项求证. 证法1：. 所以. 证法2：当时,,则 . .评注：此题关健是将通项分母缩小，使通项放大成“” 形式，以达到求和相消效果。 二、数列递推型不等式 其基本类型有： （1）an+1 an +d (2)an+1qan 解决上二类问题主要采用逐层递推法。逐层递推法，就是根据题目要求建立起相邻两项的递推不等关系，反复利用这个不等式进行放缩，寻求各项与首项的不等关系，从而建立一个新的可求和的数列. 例5已知函数，数列满足，且. (1)设，证明：； (2)设(1)中的数列的前项和为，证明. (1)证明：∵ ∴. ∴ ∵ ∴ ∴. （2）∵ ∴ . 评注：本题利用放缩法将函数、数列和不等式巧妙结合，对综合应用能力要求较高； 例6.已知数列中，a1=1，且满足递推关系[ （1）当m=1时，求数列的通项 （2）当时，数列满足不等式恒成立，求m的取值范围； （3）在时，证明 解:（1）m=1，由，得： 是以2为首项，公比也是2的等比例数列。 于是 （2）由依题意，有恒成立。，即满足题意的m的取值范围是 （3）时，由（2）知 设数列 故 即在成立… 评注：如何建立起相邻两项的递推不等关系是解此类题目的关健。 数列型不等式放缩方法较灵活，掌握一些用方法和技巧对提高解题能力有较大帮助。合理应用放缩法可以锻炼和培养学生综合应用能力和严密的逻辑思维能力. 参考文献： 王国涛 用放缩法证明数列不等式的若干策略.高中数学教与学，2009（11） 张巧凤 证明与数列和有关的不等式的两种放缩技巧.新高考（高一版），2009（05） 4