数学建模介绍.docVIP

数学建模介绍 学习要求： 理解数学模型与数学建模的概念 了解数学模型的分类 学习几个简单的初等数学模型 教学内容： 社会实际问题中的问题是复杂多变的，量与量之间的关系并不明显，并不是套用某个数学公式或只用某个学科、某个领域的知识就可以圆满解决的，这就要求我们有较高的数学素质。即能够从众多的事物和现象中找出共同的、本质的东西，善于抓住问题的主要矛盾，从大量数据和定量分析中寻找并发现规律，用数学的理论和数学思维方法以及相关知识解决实际问题，为社会服务。要解决实际问题最重要的一个步骤就是必须建立相应的数学模型。人们逐渐认识到建立数学模型的重要性．下面将对数学模型的概念及分类作简要介绍． 一、数学模型和数学建模 对现实世界上的一个特殊对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构，即通过假设变量和参数运用一些数学方法建立变量和参数间的数学关系，这样抽象出来的数学问题就是数学模型。通过数学方法对模型进行分析求解，最后再解释和验证所得的解，进而为解决现实问题提供数据支持和理论指导，这个过程称为数学建模。 二、数学建模的全过程 现实对象的信息→ 数学模型 ↑ ↓ 现实对象的解答← 模型的解答 三、模型的分类 1、按应用领域（或学科）：人口模型，交通模型、环境模型，城镇模型、规划模型、生态模型、水资源模型等； 2、按建模的数学方法（数学分支）：初等数学模型，几何模型，微分方程模型，概率、图论模型； 3、按表现特征：确定性模型与随机性模型；静态模型与动态模型；线性模型与非线性模型；离散模型与连续模型； 4、按建模的目的：描述模型，分析模型，预报模型，优化模型，决策模型，控制模型等. 5、按对模型的了解：白箱模型，灰箱模型，黑箱模型等。 四、数学建模的方法与步骤 1、数学建模的方法： （1）机理分析法:根据人们对现实对象的了解和已有的知识、经验等,分析研究对象中各变量之间的因果关系,找出反映其内部机理的规律. （2）测试分析法:当我们对研究对象的机理不清楚的时候,可以把研究对象视为一个“黑箱”系统。对系统的输入输出进行观测，并以这些实测数据为基础进行统计分析来建立模型。 （3）综合分析法:对于某些实际问题，将上述两种建模方法结合起来使用。例如用机理分析法确定模型结构，再用测试分析法确定其中的参数。 2、数学建模的一般步骤： （1）形成问题 （2）假设与简化 （3）模型构成与求解 （4）模型的检验与评价 （5）模型的改进 还可以细化为八步建模法：1. 提出问题；2. 量的分析；3. 模型假设；4. 模型建立；5. 模型求解；6. 模型分析；7. 模型检验；8. 模型应用。 四、历史上成功的建立数学模型的例子 说到数学模型的建立或数学建模，似乎是一个新东西、新名词，其实是古已有之的。 开普勒的行星运动规律：一个最典型也最成功的数学建模的例子是行星运动规律的发现。开普勒根据他的老师第谷近30年天文观测的大量数据，用了10年时间总结出行星运动的三个规律，但当时还只是经验的规律，只有确认这些规律，找到它们内在的根据，才能有效地加以运用。牛顿提出与距离平方成反比的万有引力公式，利用运动三大定律证明了开普勒的结论，严格推导出行星运动的三大定律，成功地解释并预测了行星运动规律，也证明了他建立的数学模型的正确性。这是数学建模取得光辉成功的一个著名的例子。（附：开普勒第一定律：行星围绕太阳以椭圆轨道运动，太阳位于轨道的一个焦点.开普勒第二定律：太阳到行星的半径向量在相等时间内扫过相等的面积.开普勒第三定律：行星运行周期的平方与其椭圆运行轨道长半轴的三次方成正比.） 哥尼斯堡七桥问题：18世纪著名古典数学问题之一。18世纪初普鲁士的尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。这就是尼斯堡七桥问题。欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个图，把七桥问题化成判断连通图能否一笔画的问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2.　　 五、初等数学模型举例 1、选购手机SIM卡模型 （1）问题的提出 ：某公司新推出A、B两种新型手机SIM卡，资费情况如下： 若要在A、B两种SIM卡中二选一，问你将选择哪一种？ （2）模型分析：A卡月租费少，B卡免费通话时间长，直观的感觉是：若每月通话业务多时用B卡好，业务少则用A卡，那么这个划分的标准是多少？即此“临界值”应当是多少？ （3）模型的假设与建立：设通话时间为t分钟，消费的话费为f(t)，