大一高等数学同济第六版上试题.doc

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. . （A） （B）（C） （D）不可导. 2. . （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小； （D）是比高阶的无穷小. 3. 若，其中在区间上二阶可导且，则（ ）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A） （B）（C） （D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12. 设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13. 求微分方程满足的解. 四、 解答题（本大题10分） 14. 已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15. 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x 轴围成平面图形D. (1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16. 设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17. 设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设） 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6..7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导 ， 10. 解： 11. 解： 12. 解：由，知。 ，在处连续。 13. 解： ， 四、 解答题（本大题10分） 14. 解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程： 解出特征根： 其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15. 解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16. 证明： 故有： 证毕。 17. 证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在上可导。，且 由题设，有， 有，由积分中值定理，存在，使即 综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在 和，使及，即.