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第三章 基礎流體動力學 – 伯努利方程式 3.1 牛頓第二運動定律 流體的運動也是遵從著牛頓運動定律。此章先假設流體內沒有粘滯度，也沒有熱傳導度，沒有熱傳行為發生。所以，一個流體粒子是受著壓力以及體積重力的影響，而造成流體粒子的加速及運動。 粒子的運動是以其速度V表示之。速度是一個向量，粒子的運動軌跡則由粒子的速度決定之。在一路徑上，粒子的位置是靠時間起點粒子的位置以及粒子沿著路徑的速度來決定。對一個穩定流動而言，陸續通過一個位置的各個粒子都會有相同的運動路徑。 考慮在二度空間平面上，穩定流動中，每一個粒子都在其路徑上前進。粒子的速度都在路徑的切線方向。此路徑即稱為流線streamlines。在流線上，我們定義流線切線方向座標s，以及垂直方向座標n (指向流線內側為正)。s即為粒子在沿路徑上前進的距離s = s(t)，而每一個位置又有當地的曲率半徑R = R(s)。粒子在某一個位置s，速率是V，沿流線切線方向的加速度， 而垂直方向的加速度（離心加速度）， 一般而言，這兩個加速度都會存在，也就是說，粒子會受著一個非為零的淨力。 3.2 沿流線切線方向的牛頓第二運動定律 考慮一個長為?s，寬為?n的二維空間體積，作用於s方向的力來自體積重力以及表面壓力。切線方向的牛頓第二運動定律成為， 化簡， 所以，沿一個流線方向， 積分成為， 壓力積分項需要知道密度隨壓力的變化才能求得。假如密度為常數，（如液體，或速度不是很快的氣體），可得， 這就是伯努利方程式。他有四個重要假設，穩定狀態，無粘滯性，不可壓縮，沿著流線。 例題3.2 3.3 沿流線垂直方向的牛頓第二運動定律 同前面的做法， 所以，一個流體粒子路徑會轉彎是來自垂直於流線方向，壓力以及重力的梯度。 假如重力不計，如氣體或是水平流動， n是指向曲率中心，右邊為正，所以壓力是離開曲率中心越遠會越大。 另外，積分的結果，橫越流線積分為常數， 對不可壓縮流體， 3.4 物理意義 前面兩個結果的假設，嚴格說起來並沒有一種流體是可以套用的。而且面對這些假設，萬一有誤用的情況時，會產生伯努利方程式與現實世界不一致的結論。伯努利方程式的產生是我們沿著流線的座標系統積分了運動方程式，而運動的加速度(速度平方項)來自兩種力的作用，那是壓力(壓力項)以及重力(高度項)。 沿著座標去積分動方程式，在動力學來看，就是對應著功能原理的討論。功能原理是說所有外力對粒子所做的功是等於粒子動能的改變。 另外的一種表示法是 (沿著流線上是一常數) 每一項都是單位重量的能量，或是長度，或是看成一種高度，稱為頭(head)。第三項的z是高度，與粒子的位能有關，稱為高度頭。第一項是壓力頭，代表產生壓力p的流體柱高。第二項就是速度頭，代表流體自由落體下要達到速度V的垂直掉落距離。伯努利方程式是說沿著流線方向，壓力頭，速度頭以及高度頭的總和是一個常數。 任何物體要加速時都需要有淨作用力的存在。穩定流動中，我們可以從兩個事實看出加速現象，一是流線上速度的變化，另一是流線方向的改變。前者讓我們得到伯努利方程式，而後者則是與離心加速(V2/R)有關。 假如一個粒子在一彎曲的路徑上移動，淨力指向曲率中心。此力來自重力以及壓力。通常流線幾乎是直的時候，離心效應可以忽略，橫過流線的壓力變化便只剩下為流體靜壓。 例題3.4, 3.5 3.5 靜壓力，停滯壓力，動壓力，總壓力 跟伯努利方程式相關的一個觀念便是停滯(stagnation)壓力以及動(dynamic)壓力。這是來自當流體的流動停止下來時，動能會造成流體壓力的上升所形成的。 伯努利方程式內的p是真正的熱力學流體壓力，也就是靜(static)壓力。測量靜壓力的方法是在平的管壁上挖一個洞，插一根壓功計管，如圖3.4。3處的壓力是?h4-3，1處的壓力是?h。流體靜止時，也是如此，故稱靜壓。 而?z則是稱為水力靜壓(hydrostatic pressure)，這是與第二章所討論，跟高度變化引起的位能有關。實際上它並不是壓力項。 最後是?V2/2，是稱為動壓力(dynamic pressure)。如圖3.4，看一個細管。插入流體中，並指向上游。管內流體是靜止的，也就是V2 = 0，是一個停滯點，高度是H，代表停滯壓力。1與2的高度不變，所以2的壓力比1的壓力多了動壓力。也就是說，所有的動能在2的位置都變成了壓力的上升。 總壓力(total pressure)是指靜壓力，水力靜壓，以及動壓力的總和。伯努利方程式說總壓力在流線上維持一個常數。 假如我們知道靜壓以及停滯壓力時，那就表示我們便可以計算流體的速度。皮托管(Pitot-static tube)利用此原理，可用