数学第二章研究报告.ppt

§2.1 数列极限的概念 一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四 收敛的否定: 五、 无穷小数列: 定义 极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数0） 六、无穷大量： 若数列 满足：对于任意的正数M0，总存在正整数N0，使得当nN时有 定义中的不等式|xn－a|＜ ε（n ＞N）是指下面 一串不等式 都成立， 而对 则不要求它们一定成立 OK! N找到了！！ nN 目的： NO, 有些点在条形域外面！ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● N e 越来越小，N越来越大！ 例1 证 所以, 分析: 例1 证明 下页 ??? ?0, ?N?N?? 当n?N时? 有|xn?a|?? . 利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式 |xn－a|＜ε不易考虑，往往采用把|xn－a|放大的方法。 若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单 的不等式去寻找项数指标N 放大的原则： ①放大后的式子较简单 ②放大后的式子以0为极限 例 2 证明 证明 则当n ＞N时，有 例3. 证明 分析，要使 （为简化，限定 n 只要 证. 当 n N 时有 由定义 适当予先限定 n＞n。是允许的！但最后取 N 时要保证n＞n。 . 例4.证明 （K为正实数） 证：由于 所以对任意ε＞0，取N= , 当 n＞N时, 便有 例5 证 所以, 说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N. 例6 证 例7 证 数列极限的等价定义: 对 对任正整数 ＞ 数列 发散 ＞ ＞ ＞ P26 例7 命题1. 的极限为n = 是无穷小量. 变量有极限 的充要条件为它可分解为 加一个无穷小量。 命题2 无穷小量加绝对值仍为无穷小量。 命题3 无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。 命题4 * * 第二章 数列极限 §2.1 数列极限的概念 §2.2 收敛数列的性质 §2.3 数列极限存在的条件 二、数列的定义 三、数列的极限 四 、应用数列极限的定义证明数列极限的方法 一、概念的引入 引例 1 如何用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S. A1 A2 A3 A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积, A3表示圆内接正24边形面积, An表示圆内接正6?2n-1边形面积, ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ? ? ? . 显然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考虑当n??时, An的变化趋势. 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 例如 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 数列极限来自实践，它有丰富的实际背景.我们的祖 先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念 例1 战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列, 如图所示, 三、数列的极限 （c11(k)） 其长度组成的数列为 , 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 随着n 无限的增加, 木棒的长度无限的趋近于零。 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 目标不惟一！！！！！！！！！！！！ 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过上面演示实验的观察: 例如 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a, 则常数a称为数列