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下篇数学物理方程
下篇 数学物理方程 —物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法与特殊函数 Chapter 9 数学物理方程的定解问题 Abstracts: 1. 根据物理问题导出多变量数理方程—偏微分方程; 2. 给定数理方程的附加条件:初始条件、边界条件、物理条件(自然 条件,连接条件)和周期条件等,从而与数理方程一起构成定解问题; 3. 数理方程的线性性导致解的叠加原理; 4. 非齐次方程的齐次化方案。 数理方程的来源(状态描述、变化规律) 翻译 I.Classical Newton Mechanics [质点力学](Newton),连续体力学II.Electrodynamic Mechanics (Maxwell equations) III. Statistic Mechanics (Boltzmann-Gibbs statistics): 特别: 稳态(): (Laplace equation). IV. Quantum Mechanics: Schrdinger’s equation (Schrdinger, Heisenberg, Dirac, Fermi, Einstein) 2. 分类 物理过程 方 程 数学分类 振动与波 波动方程 双曲线 输运方程 抛物线 稳态方程 Laplace equation 椭圆型 数理方程的导出 推导泛定方程的原则性步骤: 定变量:找出能够表征物理过程的物理量作为未知数(特征量,科学思维上设为已知),并确定影响未知函数的自变量。 (2)立假设:抓(取)主要因素,舍(弃)次要因素,将问题“理想化” ---“无理取闹”(物理乐趣;大胆假设,小心求证)。 (3)取局部:从研究物体内部中找出微小的局部(微元),相对于此局部的一切高阶无穷小量均可忽略---线性化。 (4)找作用:根据已知物理规律或定律,找出局部和邻近部分的作用关系。 (5)列方程:根据物理规律在局部上的表现,联系局部作用列出微分方程。 弦的横振动方程(1+1D) [一根张紧(interaction between particles)的 柔软弦的微小横振动问题] (1)定变量:取弦的平衡位置为轴。表征横振动的物理量为各点的横向位移,故速度为和加速度为. (2)立假设:1)弦的横振动是微小的,, 因此,,,又,. 2) 弦是柔软的,即在它的横截面内不产生应力,则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力始终是沿弦的切向(等价于弦上相互间有小的弹簧相连—最简单的相互作用!)。 3) 所有外力都垂直于轴,外力线密度为. 4) 设(细长)弦的线密度为,重力不计。 (3)取局部:在点处取弦段,是如此之小,以至可以把它看成质点(微元)。 质量:. 弧长:(即这一小段的长度在振动过程中可以认为是不变的,因此它的密度不随时间变化,另外根据Hooke定律可知,张力也不随时间变化,我们把它们分别记为和. (4)找作用:找出弦段所受的力。外力:,垂直于轴方向; 张力变化:,方向紧绷, , 垂直于轴方向。 (5)列方程:根据牛顿第二定律 ,因方向无位移,故. 即 ,其中是单位质量所受外力。 如果弦是均匀的,即为常数,则可写为弦振动的传播速度,则. 对于自由运动,即无源,这个方程简化为齐次方程:. 在有界实空间的适当边界条件下,通过分离变量和求解本本征值问题, 得到与啊相关的本征值,再与实验频率相比较,即可求得材料的 怎么运动:源(非齐次)驱动或边界驱动和初始驱动。 杆的纵振动方程(1+1D) [一根弹性(linear interaction between particles)均匀细杆的微小纵振动问题] (1)定变量:取细长杆的放置为轴。表征纵振动的物理量为各点离开平衡位置的纵向位移. (2)立假设:1) 振动方向与杆的方向一致。 2) 均匀细杆,同一横界面上各点的质量密度,横截面面积与杨氏模量(应力与应变之比值)都是常量(常数)。 3) 杆有弹性,服从Hooke定律:应力与相对伸长成正比,即, 其中:单位横截面上的内力(相互作用),方向沿轴正方向,但是力是沿该截面法向(外向)的。施给截面的力(拉力)的方向:;同理为中施给截面方向的力(拉力),其方向:(这种取法类似于紧绷弦的受力分析)。 4) 外力与杆的方向一致,各点时刻单位横截面上的外力为(例如每个弹簧都用绳子牵引着),重力不计。 (3)取局部:在点处取杆微段,是如此之小,以至可以把它看成质点。 质量:. 绝对伸长:, 相对伸长:(应力)。 (4)找作用:找出杆的这个微段所受的力。外力:; 应力变化:. (5)列方程:根据牛顿第二定律 即,,其中. 令为杆振动的传播速度,则 . 自由振动:齐次方程; 受迫振动:非齐次方程。 注意:杆中应力与相对位移成正比,因而做纵振动;虽然弦中位移在轴
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