0123李从文实验四.doc

数学建模课程实验报告 专题实验4 班级 2011级二班 学号 2011040123 姓名 李丛文 实验题目 数值积分与数值微分 实验目的 1利用MATLAB掌握梯形公式、辛普森公式和随机模拟方法计算数值积分； 2通过实例学习用数值积分和数值微分解决实际问题。 实验内容 (包括分析过程、方法、和代码，结果) 2：用梯形、辛普森和蒙特卡罗方法计算积分。改变步长（对梯形），改变精度要求（对辛普森），改变随机点数目（对蒙特卡罗），进行比较、分析。 y=e ,-2x2 解：用三种方法计算积分的源程序如下： h=4/50; x=-2:h:2; y=fun(x); z1=trapz(y)*h z2=quad(fun,-2,2) plot(x,y,g); n=1000; x1=rand(1,n); y1=fun(x1.*2); z3=sum(y1)*4/n 对梯形公式取h=4/50,4/100,4/10000;对辛普森分别取精度为10，,10；对蒙特卡罗方法分别取n=1000,10000,100000.得到的结果如下： 梯形公式 辛普森公式 蒙特卡罗方法 0.95438456767789 0.95449943824154 0.93999211059586 0.95447094168964 0.95449973610735 0.95794338594866 0.95449973322412 0.95449973610373 0.95427317381756 从得到的结果可以看到对梯形公式，步长越小，计算的积分结果越准确；对于辛普森公式，在一般的10精度下结果已经很准确（小数点后前六位均为准确数字），提高精度后结果更加精确，可见辛普森具有很高的优越性，但它的局限性在于必须要有函数解析式；对于蒙特卡罗方法，虽然结果具有随机性，但随着n增大，得到的结果越来越接近准确值。 5：测得活塞中气体压力P和体积V的一组数据如下： P 60 80 100 120 140 160 180 V 80.0 69.2 60.0 52.0 45.0 38.6 32.5 求V＝60，50处，V改变1时P的改变量；求从70减至40时气体作的功。 解：用中点公式计算导数k.则P＝kV。因为V＝1，所以P数值上等于k。 取h=0.1，利用三次样条计算P在V－h，V+h处的数值，从而利用中点公式计算导数。 源程序如下： h=0.1;x=[60-h,60+h]; p=60:20:180; v=[80.0 69.2 60.0 52.0 45.0 38.6 32.5]; y=spline(v,p,x); p=(y(1)-y(2))/2/h 结果为 p=2.3341（） 同理可以算出V=50时,p=2.7891（） 求导的问题也可以用书后补充知识中样条求导的方法解决，计算后可以得到相同结果。 利用三次样条插值计算V在40～70之间时相应的一系列P值，然后用梯形公式计算积分即得气体作功。 源程序如下： x=40:30/1000:70; p=60:20:180; v=[80.0 69.2 60.0 52.0 45.0 38.6 32.5]; y=spline(v,p,x); w=trapz(x,y) 输出结果为：W= 3414.36(lbf.in) 9..解； x=[7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0]; y1=[44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68]; y2=[44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 68]; figure(1) plot(x,y1,o) hold on plot(x,y2,rp) hold on xi=10:10:100 yi=interp1(x,y1,xi,spline) yi=interp1(x,y2,xi,spline) xx=min(x):0.1:max(x); yy1=interp1(x,y1,xx,spline); plot(xx,yy1) hold on yy2=interp1(x,y2,xx,spline); plot(xx,yy2