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基本概念—功 基本概念—功 即，质点系动能的微分等于作用于质点系各力的元功的代数和，这就是质点系动能定理的微分形式。 dT= ∑ W i 对于质点系中的每个质点，都有类似上式，相加得 因 故上式可写成 由质点动能定理的微分形式 1.微分形式 二、质点系动能定理 式中 T1 ， T2 分别代表某一运动过程中开始和终了时质点系的动能。上式表明质点系的动能在某一路程中的改变量,等于作用于质点系的各力在该路程中的功的代数和。这就是质点系动能定理的积分形式。 T2?T1 = ∑Wi 将上式积分，得 由微分形式 dT= ∑ Wi 2.积分形式 一自动卸料车重W1 , 装好料后重W2 , 自倾斜30°的斜面上无初速地下滑, 碰着固定的弹簧, 并压缩弹簧, 当料车到达最低点(弹簧产生最大压缩变形)时自动卸料. 然后, 依靠弹簧的弹力, 把空车弹回到原来的高度. 设所有阻力等于斜面对料车法向支承力的20% , 问W2 与W1的比值应为多少? h D α ? 讨论题 方法一: 分为两个过程来求解: (1)装料车从最高位置到最低位置的过程中，用动能定理。 (2)空车从最低位置到最高位置的过程中，再用动能定理。 h D α 方法二： 装料车从最高点下滑, 又回到最高点, 对这一往返过程 应用动能定理。 ? 空车上滑时阻力做功。 ? 装料车下滑时阻力做功。 ?下滑时，料的重力做功。 ? 在往返过程中，空车重力W1做功也为0。 ? 在往返过程中，弹簧压缩后又恢复到原长，故弹性力做功为0。 ? 始、末位置动能： T1=T2=0 h D α 例题 13-4 运送重物用的卷扬机如图 (a) 所示。已知鼓轮重 W1 ,半径是 r,对转轴 O 的回转半径是 ?。在鼓轮上作用着常值转矩 MO ,使重 W2 的物体 A 沿倾角为 ? 的直线轨道向上运动。已知物体 A 与斜面间的动摩擦系数是 f 。假设系统从静止开始运动，绳的倾斜段与斜面平行，绳的质量和轴承 O 的摩擦都忽略不计。试求物体 A 沿斜面上升距离 s 时物体 A的速度和加速度。 (a) s A2 A A1 O MO α 用v 表示这时物体的速度大小，则鼓轮的角速度大小?=v/r，从而有 系统从静止开始运动的，初动能 T1 = 0。在重物上升的单向路程为 s 时，系统的动能 T2 可计算如下。 取鼓轮、绳索和物体 A 组成的系统为研究对象。 解： (b) A O M0 W2 FN F FOx FOy W1 a v 根据T2 ? T1=∑W，有 在物体 A 上升 s 路程中，作用在系统上的力的总功为 T1 = 0 , (b) A O M0 W2 FN F FOx FOy W1 a v ● 物体 A 的加速度 把式(1)中的s看作变值，并求两端对时间 t 的导数，有 考虑到在直线运动中 dv / dt = a，ds / dt = v，故物体 A 的加速度 A O M0 W2 FN F FOx FOy W1 a v (1) 根号内必须为正值，故当满足MO≥W2r(sin?+f cos ?)时，卷扬机才能开始工作。 O M0 A θ A m2g FN Fs θ FT a 如何求绳子拉力和物体A与斜面间的摩擦力？ ? 思考题 m2a=FT － Fs － mgsinθ 0= FN－ m2g cosθ θ O M0 P A rA s 若将重 W2 的物体 A 改变成半径为rA的匀质滚子，试求滚子A 沿斜面上升距离 s 时物体 A的速度和加速度。 ? 思考题 θ O M0 A m1g FOx FOy m2g FN Fs P ω vA a ωA 动能: 力的功: ωA θ A m2g FN Fs P O M0 m1g FOx FOy ω vA s B O M0 θ P A rA s 若将重 W2 的物体 A 改变成半径为rA的匀质滚子，且绳子缠绕在滚子上，试求滚子A 沿斜面上升距离 s 时物体 A的速度和加速度。 ? 思考题 动能: 力的功: 例题 13-5 系统在铅直平面内由两根相同的匀质细直杆构成， A，B为铰链，D为小滚轮，且AD水平。每根杆的质量为 m，长度为 l，当仰角?1=60o 时，系统由静止释放。求当仰角减到?2=30o 时，杆AB的角速度，摩擦和小滚轮的质量都不计。 A B D F E mg mg α1 α1 (a) 系统开始是处于静止，初动能 T1=0。 取整个系统为研究对象，其中杆AB作定轴转动，而杆BD 做平面运动。 考虑系统由静止开始运动到?2=30o