第三章第2节函数模型及其应用A课程解读.docVIP

HYPERLINK /student/senior/article.php?id=230035 \o 必修1第三章第2节函数模型及其应用A \t _blank 第三章第2节函数模型及其应用A课程解读 一、学习目标： 1. 利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。 2. 搜集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的应用。 二、重点、难点： 重点是比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数以及幂函数模型的增长差异；结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义。 难点是将实际问题转化为函数模型。 三、考点分析： 1. 理解直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。 2. 能利用函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）解决一些简单问题。 知识梳理 一、解函数应用题的基本步骤 　　一般地，数学应用题往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查同学们对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行： 　　第一步，阅读理解、认真审题； 　　第二步，引进数学符号，建立数学模型； 　　第三步，利用数学的相关方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果； 　　第四步，再将所得结果转译成具体问题作出解答。 二、实际问题的建模方法 　1. 认真审题，准确理解题意。 　2. 从问题出发，抓准数量关系，恰当引入变量或建立直角坐标系，运用已有的数学知识和方法，将数量关系用数学符号表示出来，建立函数关系式。 　3. 研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出解答。 三、几种常见的数学建模 　1. 平均增长率问题：如果原来的产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值或总产量。 　2. 储蓄中的复利问题：如果本金为元，每期利率为，本利和为，存期为，则 　3. 根据几何、物理概念建立的函数关系，如位移、速度、时间的函数关系，灌溉渠的横截面面积和水深的函数关系。 　4. 通过观察、实验建立的函数关系，如自由落体的距离公式等。 典型例题 例1. 将进货单价为40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚取最大利润，该商品售价应定为多少? 思路分析：由利润=销售额－成本=（售价－进价）×销售量，可确定利润与售价的函数关系。 解答过程：设利润为y元，每个商品售价为x元，则每个涨（x－50）元，从而销售量减少10（x－50）个，共售出500－10（x－50）=1000－10x（个）。 ∴y=（x－40）（1000－10x）=－10（x－70）2+9000（50＜x＜100）。 ∴x=70时,ymax=9000。 答：为了赚取最大利润，该商品售价应定为70元。 解题后的思考：由实际问题建立的函数关系式，它的定义域除受其解析式的约束外，还要受到问题中变量的实际意义等具体条件的约束。 例2. 某种消费品每件60元，不加收附加税时，每年大约销售80万件。若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（叫做税率R％），则每年的销售量将少R万件。要使每年在此项经营中所收取的税金不少于128万元，问R应怎样确定? 思路分析：先建立税金与销售量的函数关系式，再从中得出关于R的不等式。 解答过程：在税率R%的情况下，x=80－R, ∴y=60（80－R）·R% ∴60（80－R）·R%≥128 ∴R2－12R+32≤0 ∴4≤R≤8。 答：税率在4％～8％之间时，每年所收取的税金才不低于128万元。 解题后的思考：将文字语言转化为符号语言，再用数学关系式表达出来，这是解答实际应用题的关键所在。 例3. 某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台。现销售给A地10台，B地8台。已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元。 （1）设从乙地调运x台至A地，求总运费y关于x的函数关系式； （2）若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案； （3）求出总运费最低的调运方案及最低的运费。 思路分析：由甲、乙两地调运至A、B两地的机器台数及运费如下表： 调出地 甲? 地 乙? 地 调至地 A地 B地 A地 B地 台数 10－x 12－（10－x） x 6－x 每台运费（元） 400 800 300 500 运费合计（元） 400（10－x） 800［12－（10－x）］ 300x 500（6－x） 解答过程：（1）依题意，得 y=400（10－x）+800［12－（10－x）］+300x+500（6－x）， 即y=200（x+43）（0≤