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从双基到四基、从两能到四能 史宁中 东北师范大学，长春，130024 一、传统与未来 《数学课标》：双基 → 四基、两能 → 四能 基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验 分析问题、解决问题 + 发现问题、提出问题 知识为本：单纯的双基（99年大纲）、专门人才 育人为本：学生成长、认知规律 如何教→如何学(有效教学、有效学习）； 有效 + 兴趣 → 减负 创新：基础知识 + 创新思维 + 创新经验。 思维方法和经验：培养学科直观。 结果是看出来的。 思维方法的教育：数学思想 + 思维经验。 二、基本活动经验 会想问题：不是教出来的、是自己悟出来的； 悟的方法就是自己思考、积累经验。 物价调查： 会整体规划、 会把问题化简、 会抽象出问题的本质、 会归纳出规律性的东西、 会逻辑地表达自己的思考。 三、数学的基本思想 不是指数学思想方法：等量替换、数形结合、分类、递归、转换；配方法、换元法、加强不等式。 数学产生与发展所依赖的思想 学习数学以后具有的思维能力 抽象：把与数学有关的知识引入数学内部；抽象能力强 推理：促进数学内部的发展；推理能力强 模型：沟通数学与外部世界的桥梁；应用能力强 抽象：数量与数量关系的抽象；图形与图形关系的抽象。 得到：研究问题的对象概念和对象之间的关系概念； 运算方法和运算之间的运算法则。 亚里士多德： 数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些感性的东西。对于数学而言，线、角、或者其他的量的定义，不是作为存在而是作为关系。 引出抽象的两个层次：直观描述，符号表达。 数量的第一步抽象 数量 → 数。 2匹马、2头牛 → 2。 数量的本质多与少 → 数的本质大与小 → 自然数：10个符号 + 位数 加法：加一、万的产生 加法 → 四则运算； 逆运算 → 数域扩充； 自然数 → 整数、有理数、实数。 数量的第二步抽象 符号意识：符号可以代表数、关系、规律、逻辑 符号可以进行计算和论证（方程） 通过符号得到的结论具有一般性（交换律） 具体 → 一般 凡是具体的都会存在反例（函数变量说） 凡是一般的都会存在概念（函数对应说） 解释微积分 → 定义极限运算 → 定义实数 → 定义无理数 → 重新定义有理数 有理数：分数形式 → 小数形式：有限 + 无限循环 无理数：无限不循环小数 实数 ≡ 有理数 + 无理数 运算：√2·√3 = √2·3 ？ 性质：连续 ？ 实数的加法：两个实数相加，如果符号相同，取相同的符号，和为两个实数绝对值的和；如果符号不同，取绝对值大的符号，和为大的绝对值减小的绝对值。 图形的第一次抽象 欧几里得《几何原本》描述定义：点、线、面、角 关系术语：相交、平行、垂直、全等 度量定义：长度、面积、体积、边角关系(三角函数、巴比伦) 带来的问题 点：两条直线交于一点？ 平行：两条永远不相交的直线？ 全等：两个图形重合？ 修改平行：过直线外一点可以有一条（欧几里得几何） 无数（罗巴契夫几何） 没有（黎曼几何） A a a＇ b 赤道 O N N 北极出地与纬度之间的关系 图形的第二次抽象 希尔伯特《几何基础》：桌子、椅子、啤酒杯 符号定义：A，a，α 五组公理：两点决定一条直线； 三点决定一个平面。 本质是维数：0维点；1维线；2维面；3维体。 高维看低维：直线、平面。 推理：一种思维过程 思维：形象思维、逻辑思维、辩证思维 命题：可以进行判断的话语 推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程 命题 + 判断的四种形式：是是、是否、非是、非否 逻辑推理：