行列式-习题解答.ppt

所以 ③ 解 所以 ④ 所以 ⑤ 解 所以 ⑥ 所以 27.对于三次多项式 已知 求 解 设 则 即 解之得 所以 28.有一个多项式 当 时 的值分别为 试求 在 时的值. 解 由已知得： 即求以 为未知数的线性方程组的解： 因为 所以 于是 同理可得： 于是： 解法二：将 按第 列展开得： ④ 于是 ⑤ ⑥ 当 时， 当 时， 假设当 时结论成立，则当 时，将 按第 列展开得： 因此由数学归纳法知，对任意的正整数 有 23.试证：如果 次多项式 对 个不同的 值都是零，则此多项式恒等于零. 证明 设 个不同的 值分别为 则 即 这可看成是以 为未知量的齐次线性方程 组，其系数行列式为： 于是由克莱姆法则知上述齐次线性方程组仅有零解. 即 也即 24.利用范德蒙行列式计算. ① ② *25.利用拉普拉斯展开定理计算下列行列式. ① 解 ①取定第一行，第二行可组成6个二阶式，它们是 由拉普拉斯定理知： ② 解 ②取定第一行，第二行第三行可组成9个三阶式，它们是： 由拉普拉斯定理知： 26.解下列方程组： ① 解 所以 ② 解 ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 18.计算下列行列式 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 当 时 19.求行列式 中元素 和 的代数余子式 解 20.已知四阶行列式 中第三列元素依次为 他们的余子式依次是 求 解 21.设行列式 分别按 的第二行 和第四列展开，计算其值. 解 22.计算行列式 解 ① ② ③ 解法一：将 按第 行展开得： * 　　　　　　　　　 第一章 行列式 习题（A） 1.用定义计算行列式 ① ② 　　　　　　　　　 ③ ④ 　　　　　　　　　 ⑤ ⑥ ⑦ 　　　　　　　　　 ⑧ 2.已知 , 求 解 因为 所以 或 或 3.已知 , 求 解 因为 所以 或 或 4. 的充分必要条件是什么? 解 因为 令 得 或 所以 的充分必要条件是 或 　　　　　　　　　 5. 求下列排列的逆序数,并讨论其奇偶性 ① ② ③ ④ 解 ① 所以 为偶排列 ② 所以 为奇排列 ③ 所以当 或 时为偶排列;当 或 时为奇排列. 小的数码个数为 ，于是在新排列 小的数码个数为 7.设 则 是多少？ 解 假设在原排列 中， 后面比 ，则比 大的数码个数为 中 前面比 大的数码个数为 同理，设原排列 中 则比 6.选择 使排列 解 当 时， 为 为偶排列，当 时， 为偶排列，当 时， 为偶排列. 为偶排列. 大的数码个数为 于是在新排列 中 前面比 大的数码个数为 依次类推，可得 新排列中 前面比 大的数码个数为 于是 8.下列各题，哪些是五阶行列式 中的一项？ 若是，试决定该项的符号. ① ② ③ ④ 解 ①因为 是五阶行列式中位于 不同的行与不同的列的五个元素，所以 是五阶行列式中的一项，且 于是该项带正号. ②因为 这五个元素中有两个 元素 与 位于同一列，所以 不是 五阶行列式中的一项. ③因为 是五阶行列式中位于不同 的行与不同的列的五个元素，所以 是五阶行列式中的一项.且 于是该项带负号. ④因为 是五阶行列式中位于不同的行 与不同的列的四个元素.所以 不是五阶行列 式的一项. 9.在六阶行列式 中，下列各项应取什么符号？ ① ② ③ ④ ⑤ 解 ①因为 ，所以 该项取正号. ②因为 ，所以 该项取负号. ③因为 ，所以 该项取负号. ④因为 ，所以 该项取正号. ⑤因为 ，所以 该项取负号. 10.写出四阶行列式中所有带负号并且包含因子 的项. 解 四阶行列式中包含因子 的所有项为： 带有负号并且包含因子 的项为： 11.设 阶行列式中有 个以上的元素为零，证明 该行列式的值为零. 证明 因为 阶行列式共有 个元素，已知 个以上元素为零，所以非零元素不足 个.而 阶行列 式的每一项都是由取自不同的行不同列的 个元素的 的乘积构成.因此每一项中至少有一个元素取零，于 是该项为零，从而该行列式的值也为零. 12.用行列式定义计算行列式 ① 解 ①此行列式有位于不同的行与不同的列的 个非 零元素的乘积 与 他们所带的符号分别为 与 因此 ② 解 ②此行列式刚好只有处在不同的行与不同的列的 个非零元素 故非零项只有一项 该项所带的符号为 因此 ③ 解 ②此行列式刚好只有处在不同的行与不同的列的 个非零元素 故非零项只 该项所带的符号为 因此 有一项 ④ 解 ④此行列式刚好只有处在不同的行与不同的列的 个非零元素 故非零项只有 一项 该项所带的符号为 因此 13.由行列式定义计算 中 与 的系数 解 此行列式中涉及 与 的项分别为： 与 所带的符号分别为 与 所以 与 的系数分别为 与 14.多项式 中的