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仿真原理 给定条件 设有一个随机信号服从AR(4)过程，它是一个宽带过程，参数如下： a(1) a(2) a(3) a(4) -1.352 1.338 -0.662 0.240 1 通过观测方程来测量信号，是方差为1的高斯白噪声 2、 推导初始条件如下： 由所给定的条件，得到状态方程如下： x(n)=1.352*x(n-1)-1.338*x(n-2)+0.662*x(n-3)-0.24*x(n-4)+w(n) 其中w(n)表示动态噪声，其方差为1； 令x(-1)=x(-2)=x(-3)=x(-4)=0得到的初始值如下： x(1)=w(n)； x(2)=w(n)+1.352*x(1)； x(3)=w(n)+1.352*x(2)-1.338*x(1)； x(4)=w(n)+1.352*x(3)-1.338*x(2)+0.602*x(1)； 当n≥5时满足如下方程： x(n)=1.352*x(n-1)-1.338*x(n-2)+0.602*x(n-3)-0.24*x(n-4)+ w(n); 其中是方差为1的高斯白噪声 对卡尔曼滤波有： 由状态方程可得 状态变量增益矩阵为： A= 仅对x方向进行估计，即考虑一维的情况下，有： 状态变量与输出信号之间的增益矩阵Ck =[1 0 0 0]; 量测噪声协方差阵为Rk =[1]; 噪声的均方误差阵为Pk = ； 3、仿真要求 分别利用Wiener滤波器和Kalman滤波器通过测量信号估计的波形 4、仿真原理 （1）维纳滤波原理 维纳滤波的原理是根据全部过去的和当前的观测数据x(n),x(n-1), …来估计信号的当前值。以均方误差最小条件下求解系统的传递函数H(z)或单位冲激响应h(n)。维纳滤波的信号模型是从信号与噪声的相关函数得到。 Wiener滤波器的一般结构如下： 有一期望响应d(n),滤波器系数的设计准则是使得滤波器的输出y(n)是均方意义上对期望响应的最优线性估计。 线性系统输出为： 均方误差为： 维纳滤波器的设计，实际上就是在最小均方误差条件下，即，确定滤波器的冲激响应h(n)或系统函数H(z)，可等效于求解维纳-霍夫方程：[h]=[φxx]-1[φxs]。 （2）卡尔曼滤波原理 不需要全部过去的观察数据,只根据前一个估计值和最近一个观察数据来估计信号的当前值。它是用状态空间法描述系统，即由状态方程和量测方程组成。 解是以估计值(是状态变量的估计值)的形式给出的，其算法是递推。卡尔曼滤波的信号模型则是从状态方程和量测方程得到。 卡尔曼滤波的信号模型（一维）如下： 离散系统的n维状态方程： 离散系统的m维量测方程： 令表示状态变量之间的增益矩阵，为状态变量与输出信号之间的增益矩阵，不随时间发生变化，动态噪声与观测噪声都是零均值的正态噪声，且两者互不相关，为量测噪声协方差矩阵，为动态噪声协方差矩阵。 系统初始条件为： 卡尔曼滤波的基本思想是先不考虑激励噪声和观测噪声，得到状态的估计值和观测数据的估计值,再用观测数据的估计误差去修正状态的估计值，通过选择修正矩阵H使得状态估计误差的均方值最小。 卡尔曼滤波的递推公式如下： 假设初始条件已知，其中 ，则卡尔曼滤波的递推流程如下： 仿真流程 (1)维纳滤波仿真流程如下： (2)卡尔曼滤波仿真流程如下： 三、仿真结果及分析 1、利用维纳滤波器进行估计： (1) Wiener滤波器的阶数取101阶，观测点数取100，的方差为1时，通过仿真得到真实轨迹、观测样本及估计轨迹的比较图形如下图1所示： 图1 采用维纳滤波，噪声方差为1时，真实轨迹、观测样本及估计轨迹的比较 从图1可以看出，利用Wiener滤波器通过测量信号估计的波形，得到的估计轨迹接近于真实轨迹。当噪声方差为1时，估计轨迹与真实轨迹间的误差很小。 (2) Wiener滤波器的阶数取101阶，观测点数取100，的方差为1时，通过仿真得到平均误差如下图2所示： 图2 采用维纳滤波，噪声方差为1时的平均误差 从图2可以看出，利用Wiener滤波器通过测量信号估计的波形，当噪声方差为1时，得到的估计轨迹与真实轨迹的平均误差较小，而且刚开始的时候平均误差相对较大，随着时间的推移，平均误差有逐渐减小的趋势。 (3) Wiener滤波器的阶数取101阶，观测点数取100，的方差为4时，通过仿真得到真实轨迹、观测样本及估计轨迹的比较图形如下图3所示： 图3 采用维纳滤波，噪声方差为4时，真实轨迹、观测样本及估计轨迹的比较 从图3可以看出，当噪声方差为4时，估计轨迹与真实轨迹间的误差变大了。利用Wiener滤波器通过测量信号估计的波形，得到的估计