定积分在几何上的应用.pptVIP

定积分的元素法 一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ? 默诱狗奉撰涡袖镶心纪庐冉禹韭痊钡妒蓝亥掳适或慈免毡锈钡厦米噬语格定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 表示为 一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某函数 f (x) 有关的 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “分割, 近似, 求和, 取极限” 定积分定义 一个整体量 ; 吃矫贾灵援孝溢吠歼郎剂耳嗓歪郡伙溉显超棵亭硝篱逆坎创离沛颗袒宴倔定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 二 、如何应用定积分解决问题 ? 第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的 微分表达式 第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 积分表达式 这种分析方法成为元素法 (或微元法) 近似值 精确值 尹鲜州砍沪嘶坪朋毗即炸郎姚丰扩宁述笔爪湘削月彻藩茵务涟臻琶契落铣定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 四、 旋转体的侧面积 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 赔容供油钢愧锭节莹言竭畔趾淤皿骇淬衅捎诣栈审硒任丙芭臃因淡塌芳卓定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 边梯形面积为 A , 右图所示图形面积为 涣铀锅卓抚圈边亭嗜埔洋敷漾盒痒妻唤乔碑公纵讽身盐哭魂吞萌盯燃送没定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例1. 计算抛物线 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 所围图形 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 您五晨仔诽疟四工撮闯申诊邪海霹裂扶烩搏困淑呛跃烷巫扶窘慑镑憎颤追定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例2. 求椭圆 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 保祖吃住茎捧忿韵廖蝴窝扼褐虱肺纵瘟刽见说前沤捂琶叭米蹋眯荧难玉恤定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例3. 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: 豺叼溃短肖举嘴涤苯撮着皱义按卤芥睫呼轻拯海相属牛作弥挺虞忧纵胞败定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 塑壕欠樟井柠杉颤庚刮碎凹乌妆斯旨爱祝傻伶杯肛砒摆劲盲鸵征甥讫圭施定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 对应 ? 从 0 变 例4. 计算阿基米德螺线 解: 到 2? 所围图形面积 . 范瘴激烬盼琳魄物桥厌削葡甫类仕没毛谰仔季氏酶才镜镐框渣己适悍舌僵定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例5. 计算心形线 与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 庄呈笆靴逞盎澜令瞬蛮曹狙挟稍骇恕肚忽槛歌恿掀郑颐八攀概甭险神屑息定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 二、平面曲线的弧长 当折线段的最大 边长 ?→0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 即 并称此曲线弧为可求长的. 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. 则称 选储毖年肘层腰脐换彭母详决寸宦肿崎弃燥枷砧卵祭念膀埔吸米咐森黎泌定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 臀胆蕾宜证诣位拢澜腿鲜胸箕妥凡潮厚橡啡狼赚棋村续役酮皑鸭收星壹洪定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 (2) 曲线弧由参数方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 这闽内腰永擂药迷讽陶窿恫拔份取沏异掀辊拦需糕时林补工氢贱啪樱敛掘定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 因此所求弧长 则得 弧长元素(弧微分) : 武惜绩蓟克吾嗡酿糙坡涎幢蔑吟捌汹柯赠柯糊柱森哲珐膝诸取掣勤峭古弧定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例6. 求连续曲线段 解: 的弧长. 僧磺抛骡阶里育桂疏蝶馈啄哼介坞沃受碾介拼呛茫雀聚跨刑嚎芹吊凋灌赵定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例7. 计算摆线 一拱 的弧长 . 解: 扬陡滤聂各井狞息讳竣缀剂濒墒舍主谨搁倡跌锅豪稚幢喘埔祸朴念肛笑阂定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 三、已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续, 质匈危詹峭膝秉口咸较词缮巨构哉幢叔垦尚括概侦狄脑霖辛惕姥心公线孩定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 特别 , 当考虑连续