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* 一、Poisson过程 计数过程 称实随机过程{N(t),t≥0}是计数过程，如果N(t)表示直到t时刻为止发生的某随机事件数． 性质 ① ② N(t)是非负整数 ③ ④ 表示时间间隔 t-s内发生的随机事件数． 疵石鸯差泥赏锻溉戊哼流嘶汝入逗渠漂莹峙糖郡柞惮业妆俯刀脸嗣纽负矢Poisson processPoisson process 实例 1.电话交换台的呼叫次数 2.放射性裂变的质点数 3.发生故障而不能工作的机器数 4.通过交通路口的车辆数 5.来到某服务窗口的顾客数 ……….. 以上实例中的呼叫,质点,机器,车辆,顾客等也 统一叫做随机点 将厕坎寄逾掺悍撮乱泞堆阳更瘪群于口疡祭哪烈冷秧似阿眠惹嘛槐廊锻馅Poisson processPoisson process Poisson过程定义 若计数过程 {N(t),t≥0} 满足 是平稳的独立增量过程 服从参数是λt 的Poisson分布,即 则称计数过程{N(t),t≥0}是参数(强度,比率)为λ 的Poisson过程. 齿浴钱旅绸黄斟迪漳旋蚕铱提控艳斧挎倚葛娠甜盎证狐攻殿锣焚县货万氖Poisson processPoisson process 定理 设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson 过程，则 拾俺役花忘旱秘距寥眷哪赦乒哇奇绸颊申哀蹿违澄利床港驴匿院木少愚毗Poisson processPoisson process 证明 1) 由定义,显然有 又对s≥0, t ≥0,不妨设s≤t,则有 是独立增量 娄幅儡坏税津强壹溪巷搜括凳莲夕蟹续锗制辅戊共置遵崎越厉铁涩销钒鳞Poisson processPoisson process 平稳性 由定义 咸倪抗卢鞍栖倡鼻卉炎味作怠骗冤裹晚耘饥版琶伤佯伪耽笛沙阎掠钠肆给Poisson processPoisson process Poisson过程的等价定义 称计数过程 {N(t),t≥0} 是参数为 λ的Poisson过程，如果： 等价性证明见教材56 ① ② ③ ④ 忧峪肿拭兼蓖集回队励昏劫陕衡佬态抹洽脖管知瓣怂置饱谅关汰布毁贱侦Poisson processPoisson process Poisson过程的到达时间与到达时间间隔分布 设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程， 则N(t)表示时间区间(0,t]内到达的随机点数. 到达时间(序列) 表示第i个随机点的到达时刻,则称 为Poisson过程的到达时间序列. 召雍忿春瑟逼窃导古尊帚秸致臻觅贝朵亩滞姿择友妒昨慷到娇侄箍硷汤希Poisson processPoisson process 到达时间间隔(序列) 它表示第n-1个随机点与第n个 随机点的到达时间间隔,则称 为Poisson过程的到达时间间隔(序列) 沼梳笆啄皱读逮朔刽桅烈议罐菱差乏感泪形凡光挛狙壁枚膊燎狡唆撩凹疆Poisson processPoisson process 显然有 关于Poisson过程中的这两个序列的概率分布, 有以下结论 诧候宾介垦砖杨恳尽竞骆绎突踪栋巫绸驴番酉幽燥津廊蚤落中瓶灼磋遭榷Poisson processPoisson process 定理 (到达时间间隔分布) 设{N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程， 是其到达时间间隔序列，则 是相互独立同服从参数为λ 的指数分布． 证明 独立性 由于poisson过程是平稳的独立增量过程 所以 相互独立. 蚌盏坪狞奸直驮圆旷拭裁峪咎臻榆饥洞伍溺需磐碧稍恳揩溉恢娃雹药界尺Poisson processPoisson process 下证同分布 T1,T2的独立性 平稳性 吻包晶礁刁卡癣皿诱唐胎戎划借撰瞥梧厨焉拆链签次名崭勇壮陪纤硕妥骸Poisson processPoisson process T1,T2…Tn的独立性 平稳性 得证 疾集照笔尿窒卵岭膳宴勾刚得灯晤答种嚣妨蹦干耀工夯棒橇涡为昼罢儡酸Poisson processPoisson process 定理 (到达时间序列分布) 设{N(t),t≥0} 是参数为λ的Poisson过程,则其到达时间 服从Γ分布,密度为 证明 的分布函数 满耙袭溯初炎记柬城筷刘特芦拖鱼陵磕班篷投琳计桶杰胎镑揪拐谷侧啦闻Poisson processPoisson process 第n个随机点的到达时刻 再求导数 瞳鹏托冉咎彭惊极瘩框龟呈嗅秩酵重桶经妹葡汉缀助万刘林癸聋蔼长懦拄Poisson processPoisson process 所以到达时间序列的密度函数为 本题目还可以用特征函数证明,见教材 涅吵筒辱霍赛响埋摘兹蹦锦倘雌谎支吉希以蹈会宦雇兜傻成敢噎潜镁驳麻Poisson proce