微分几何 2.5 曲面论的基本定理.pptVIP

第五节 曲面论的基本定理 5、1 曲面的基本方程与克氏符号 5.2 曲面的黎曼曲率张量和高斯-科达齐公式 二、高斯-科达齐-迈因纳尔迪公式 利用 的系数为零得 四、高斯曲率的具体表达式（用第一基本量表示）。 5.3 曲面论基本定理 * 一些符号 注意（1）和号中上，下标与字母选取无关，（2）只对上，下标相同的标号求和。 裙瘩橡延噬京裔乐俞跺频长握销掏扬抓概蕴耍绑斤纹侗巷镊护科阀撤搀斜微分几何 2.5 曲面论的基本定理微分几何 2.5 曲面论的基本定理 给出了一个 类的曲面S： ，可确定三个向量 对这三个向量求导，就得到一个类似于曲线论中基本公式的式子，但我们希望用一个简便的式子表示，于是令 上式中第一式点乘 ，得到 又 ，两边求导得 后两式相加并减去第一式得 怯搭垄嗜赚歪夜幻蕾遏主迄薯革舅脂舶沟豢惕丢债尖坯襄烟跳膏装哆蓄灿微分几何 2.5 曲面论的基本定理微分几何 2.5 曲面论的基本定理 令 是 的逆矩阵并采用克罗内尔符号 还可得到 ，称为第二类克里斯托费尔符号，也称连络系数，[ij,k]称为第一类的克里斯托费尔符号，采用原来的符号有P133。 对于曲面上的正交网，F=0，有P133。 囤茹唉敞云恬啄牲患避刃垃罩公筏掷迸邹差藻疏凭该素疟垦先赞感问邀域微分几何 2.5 曲面论的基本定理微分几何 2.5 曲面论的基本定理 对（1）中的第二式两边点乘 用过去的符号有P133。 于是得到 的导向量公式： 称为曲面的基本方程，其中第一式叫高斯方程，第二式叫温加顿方程。 僚匈砾运靠醉知宰虞恰仕栖驴弥餐葬意翌譬敦壶堤力太遣挪旷羹驯旦吕况微分几何 2.5 曲面论的基本定理微分几何 2.5 曲面论的基本定理 一、曲率张量 1、定义：曲面的曲率张量（第二类黎曼曲率张量）为 2、性质1）反对称性（关于j,k），即 直接代入定义可得到。特别地： 性质2）三个下标作循环置换后相加的和为0，即 此式称为Ricci恒等式。（直接验算） 3、定义另一方种黎曼曲率张量为 由于4个指标有16种排列，所以有16个分量，它们有如下性质： 兰赘供办漫湾缉非膳罪凿见抿酌吱爹糯悲彩倚舵膛锻舒奏搂鞠走驻温耻雅微分几何 2.5 曲面论的基本定理微分几何 2.5 曲面论的基本定理 4、性质1）反对称性： 性质2）对称性： 性质3）对后三个下标作循环置换后相加的和为0，即 证明： 由反对称性 这里共有12个分量为0，又由对称性及反对称性得到 因此16个分量中只有R1212为独立的，它其实就是高斯曲率。 最后指出，黎曼曲率张量只与gij有关，即为曲面的内蕴量。 译帆堡静耐滩傍息父扛颧钎噶叮恃烙涌哪徽他竞企响衰圭讹官坞府鱼铱毗微分几何 2.5 曲面论的基本定理微分几何 2.5 曲面论的基本定理 命题1）高斯公式 2）科达齐—迈因纳尔迪公式 三、高斯定理：曲面的高斯曲率为内蕴量。 由前面知，Rmijk的16个分量中只有一个是独立的，即R1212 ，并且为内蕴量，利用高斯公式得到 所以 膊会廊洼剖勇拟喝尸霄咀冀配懂数长椭胸摹深靶弘倘恍彝辨炮晌育滇关自微分几何 2.5 曲面论的基本定理微分几何 2.5 曲面论的基本定理 对高斯方程求导 上面两式相减，左边为0，而右边为 的线性组合，但l,m=1，2，所以实际上右边为 的线性组合，可写为 但 线性无关（不共面），故p,q,r均 为0，如 p=0，有 移阅筒素资酚吏披骚和俗走贞因瓣箩邻诫肺腆缝砷秃姿操寨毯辜蓝龙检堑微分几何 2.5 曲面论的基本定理微分几何 2.5 曲面论的基本定理 即为高斯公式。 同理对q=0有： 两式合并得（l 改为p） 靶错喷檄酒货沾洲信星呀职睛窥辫婆溉味侗战须峡桌境宏跌庄裤霹廖撅迟微分几何 2.5 曲面论的基本定理微分几何 2.5 曲面论的基本定理 注意：这量共有2×2×2=8 个式子，但只有2个是独立的。即为 把克氏符号代入可得到具体表达式，P138。 阳恃洛密烈去能盯吮斯溶喀饱硕吞正顺锚损鸵谎锰瓶扶紊铣碉撞泌缕惫渣微分几