函数的增减性、函数的奇偶性.docVIP

本周内容：函数的增减性、函数的奇偶性 　　重点难点分析： 　　1．不能把一个完整的单调区间随意分成两个区间，例如y=3x的单调区间(-∞,+∞)不可以写成(-∞,0]和[0,+∞)，也不能把本来不是一个区间的单调区间合起来。例如y=的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)，而不能写成x∈R且x≠0。 　　2．设y=f(u),u=g(x)，复合函数y=f[g(x)]的增减性有下面二种情况： 　　（1）若u=g(x), y=f(u)在所讨论区间上都是递增或递减的，则y=f[g(x)]在该区间上为增函数。 　　（2）若u=g(x), y=f(u)，在所讨论区间上一个是递增的，另一个是递减的，则y=f[g(x)]在该区间上为减函数。 　　3．奇函数或偶函数都是定义在关于原点对称区间上的函数，且等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是定义在对称区间上的恒等式，而不是只对自变量的部分值成立的方程，所以，只要出现以下两种情况之一，函数就不是偶函数或奇函数： 　　（1）定义域不是关于原点对称的区间 　　（2）f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)不是定义在定义域上的恒等式。 　　典型例题： 　　例1．求y=loga(-2x2+x+3)的递减区间 　　解：令u=-2x2+x+30得定义域为(-1,), 　　∵ u=-2(x-)2+3, x∈(-1,), 　　当x∈(-1, ]时，u=-2x2+x+3为增函数， 　　当x∈[,)时，u=-2x2+x+3为减函数。 　　（1）如果a1，则y=logau为增函数， y=loga(-2x2+x+3)的递减区间为[,)。 　　（2）如果0a1，则y=logau为减函数，y=loga(-2x2+x+3)的递减区间为(-1, ]。 　　例2．试讨论y=x+(a0)在区间(0,+∞)上的单调性，并证明。 　　解：任取x1, x2∈(0,+∞)且x1x2。 　　f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)+(- ) 　　　　　　　　=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-).........(*) 　　∵ x1x2, ∴ x1-x20。 　　(1)当x1,x2∈(0,]时，0x1x2a, 1,1- 0, 　　此时(*)0，f(x1)f(x2),　 f(x)在(0,]上是减函数。 　　(2) 当x1, x2∈[,+∞)时，x1x2a, 01, 　　1-0，此时(*)0, f(x1)f(x2), f(x)在[,+∞)上是增函数。 　　注：∵x0,a0, 根据均值不等式 ∴x+，当且仅当x=时取等号，即y最小。所以在x=时函数图像是最低的，即函数图像从左向右是先降后升的，转折点是x=，可以自己画出函数草图。 　　例3．求y=cos(-2x)递增区间。 　　解：方法(1) 设u=-2x, y=cosu, 　　∵ u=-2x+为减函数，∴只需求y=cosu的递减区间， 　　2kπ≤-2x≤π+2kπ　 (k∈Z) 　　2kπ-≤-2x≤+2kπ 　　-kπ+≥x≥--kπ。 　　∵ -k与k等效， ∴kπ-≤x≤kπ+。 　　图示： 　　　　　　　 　　方法(2)，∵ cosu为偶函数， ∴y=cos(2x-) u=2x-为增函数。 　　∴ 只需求y=cosu递减区间， 　　2kπ+π≤2x-≤2kπ+2π 　　2kπ+≤2x≤2kπ+ 　　kπ+≤x≤kπ+。 　　图示： 　　　　　　　 　　说明：形式不同，但区间相同。但更多是用方法(2)，容易理解并且不易出错。 　　例4．定义在(-2,2)上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1-m)g(m)求实数m的取值范围。 　　解：∵ g(x)为偶函数，∴g(-x)=g(x)，对于x∈(-2，2)，g(-x)=g(x)=g(|x|)， 　　g(1-m)g(m)g(|1-m|)g(|m|) 　　由已知得： 　　(1): -1m3　　(3): (1-m)2m2 　　m，∴ -1m 　　例5．设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在(2,3)上f(x)=-2(x-3)2+4。求当x∈(1,2)时f(x)的解析式。 　　解：当-3≤x≤-2时2≤-x≤3，∵f(x)为偶函数， 　　f(x)=f(-x)=-2[(-x)-3]2+4=-2(x+3)2+4 　　当1≤x≤2时， -3≤x-4≤-2 　　f(x)=f(x-4)=-2[(x-4)+3]2+4=-2(x-1)2+4。 　　例6．已知y=f(x)是定义在R上的奇函