代几题节By时月克.doc

设f(x)是一个次数不大于n-1的一元多项式.证明:如果存在n个互不相同的数a1,a2,...,an使 f(ai)=0, i=1,2,...,n, 则f(x)=0. 对任意n阶方阵A，存在次数不大于n的多项式f(x),使得f(A)=0. 对任意方阵A及任意两个多项式f(x),g(x),容易验证f(A)g(A)=g(A)f(A). 矩阵经第三种初等变换（消法变换），其秩不变. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，mn,?是任意数，证明 设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则 R(AB)≥R(A)+R(B)-n, 特别地，当AB=0时，R(A)+R(B)≤n. 试证：若对某正整数k,方阵Ak=0,则 (E-A)-1=E+A+...+Ak-1. 设A为n阶方阵，f(x)=xm+am-1xm-1+...+a1x+a0,a0≠0,且f(A)=0,试证A可逆，并用A表示A-1. 设A是n阶实对称矩阵，且A2=0,证明：A=0. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，R(A)=n,试证：R(AB)=R(B). 设A为n阶方阵，试证R(A)≤1的充要条件是存在两个n×1矩阵U,V,使A=UV. 设A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，试证： 设A是n阶方阵，R(A)=1,tr(A)=2,求|?E-A|. 过点M(-4,-5,3),且与直线L1:和L2：都相交的直线方程. 若α1，α2线性无关，且β不能由α1，α2线性表示，则n维向量组α1，α2，β线性无关. 设α1，α2，α3线性无关，α2，α3，α4线性无关.试证： α1可由α2，α3线性表示； α4不能由α1，α2，α3线性表示. 设α可由α1，α2，α3线性表示，但α不能由α2，α3线性表示，试证：α1可由α，α2，α3线性表示. 设向量组α1，α2，...，αr，αr+1，...，αs与向量组β1，β2，...，βs的秩相等，且α1，α2，...，αr可由向量组β1，β2，...，βs线性表示，证明这两个向量组等价. 设有齐次线性方程组 （1） （2） 试证（1）的解都是（2）的解的充要条件是 其中A1,A2分别是齐次线性方程组（1）（2）的系数矩阵. 设A,B都是n阶方阵，且|A|≠0,证明AB与BA相似. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明AB与BA具有相同的非零特征值. 已知，则R(A)=_____. 设α，β是n维列向量，βα=0，则αβ的特征值为______.(注意复数) 设A是m×n矩阵，对于线性方程组AX=,下列结论正确的是（）. 若A的秩等于m,则方程组有解； 若A的秩小于n，则方程组有无穷多解； 若A的秩等于n,则方程组有唯一解； 若mn,则方程组无解. 设A=，B=，则A与B( ). 合同且相似； 合同但不相似； 不合同但相似； 不合同不相似. 设B是m×n实矩阵，A=BB,则下列结论中错误的是( ). 线性方程组BX=0只有零解A正定； R(A)=R(B)； A的特征值大于等于0； R(B)=mA正定. 已知线性方程组 的一个基础解系为 §1=，§2=， 试求线性方程组 的通解. 设A为2阶方阵，证明：若存在大于等于2的自然数m使Am=0,则A2=0. 设A是n阶幂等矩阵(A2=A),试证 A的特征值只能是1或0； R(A)+R(E-A)=n; A可相似对角化； R(A)=tr(A). 设A为n阶方阵，试证： 若Ak+1α=0且Akα≠0,则Akα,Ak-1α,…,Aα,α线性无关； An+1X=0的解一定是AnX=0的解； R(An+1)=R(An). 已知A,B是两个n阶实对称矩阵，试证A与B相似的充要条件是A,B的特征多项式相等. 设§1，§2，…，§n是n阶方阵A的分别属于不同特征值的特征向量，α=§1+§2+…+§n，试证：αAα,…,An-1α线性无关. 若任意n维非零列向量都是n阶方阵A的特征向量，试证：A一定是标量矩阵. 设A是n阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B使A=B2. HIT By PZY Date:2013/12/26 1