六。一元微积分的应用【DOC精选】.docVIP

一. 选择题 1. 设f(x)在(－?, +?)内可导, 且对任意x1, x2, x1 x2时, 都有f(x1) f(x2), 则 (a) 对任意x, ?????(b) 对任意x, (c) 函数f(－x)单调增加????? (d) 函数－f(－x)单调增加 解. (a) 反例: , 有 ; (b) 显然错误. 因为 , 函数单减; (c) 反例: , 单调减少; 排除(a), (b), (c)后, (d)为答案. 具体证明如下: 令F(x) = －f(－x), x1 x2, －x1 －x2. 所以F(x1) =－f(－x1) －f(－x2) = F(x2). 2. 设f(x)在[－?, +?]上连续, 当a为何值时, 的值为极小值. (a) ??????????(b) (c) ????????(d) 解. ???????? ???????? ??为a的二次式. 所以当a = , F(a)有极小值. 3. 函数y = f(x)具有下列特征: f(0) = 1; , 当x ? 0时, ; ??? , 则其图形 (a)????????????????? (b)??????????????????? (c)??????????????? (d) ?  ??? 1???????????????? 1????? ????????????????1????????????????? 1 解. (b)为答案. 4. 设三次函数 , 若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是 (a) 关于y轴对称?? (b) 关于原点对称?? (c) 关于直线y = x轴对称? (d) 以上均错 解. 假设两个极值点为x = t及 x = －t (t ? 0), 于是f(t) =－f(－t). 所以 ????? ,??? 所以b + d = 0 的根为 x = ? t, 所以 b = 0. 于是d = 0. 所以 ?????? 为奇函数, 原点对称. (b)为答案. 5. 曲线 与x轴所围图形面积可表示为 (a) ?????(b) (c) ???(d) 解. ?  ?????????????? 0??????? 1?????? 2 由图知(c)为答案. 二. 填空题 1. 函数 (x 0)的单调减少区间______. 解. , 所以0 x . 2. 曲线 与其在 处的切线所围成的部分被y轴分成两部分, 这两部分面积之比是________. 解. , 所以切线的斜率为k = 切线方程: , 曲线和切线的交点为 . (解曲线和切线的联立方程得 , 为其解, 所以可得 , 解得 .) 比值为???? 3. 二椭圆 , ( a b 0)之间的图形的面积______. 解. 二椭圆的第一象限交点的x坐标为 . 所以所求面积为 ? = = ? = 4?ab? = 4. x2 + y2 = a2绕x =－b(b a 0)旋转所成旋转体体积_______. 解. ?  ????????????? －b????????????????? a 由图知 ? = ? = (5) 求心脏线? = 4(1+cos?)和直线? = 0, ? = 围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_____. 解. 极坐标图形绕极旋转所成旋转体体积公式 ???? 所以 ???? ?????? = 三. 计算题 1. 在直线x－y + 1=0与抛物线 的交点上引抛物线的法线, 试求由两法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积. 解. 由联立方程 解得交点坐标 , 由 求得二条法线的斜率分别为 , . 相应的法线为 , . 解得法线的交点为 . 已知三点求面积公式为 ?????????? 所以 ??? . 2. 在抛物线y = x2上一点P(a, a2)作切线, 问a为何值时所作切线与抛物线y =－x2 + 4x－1所围图形面积最小 解. 切线和抛物线的交点为 ? ? 3. 求通过点(1, 1)的直线y = f(x)中, 使得 为最小的直线方程. 解. 过点(1, 1)的直线为 ?????????????? y = kx + 1－k 所以 F(k) = ??? = ??? = ??? = ??? k = 2 所求直线方程为??? y = 2x－1 4. 求函数 的最大值与最小值. 解. , 解得 ??? x = 0,?? x = ,?? ,? =1 所以, 最大值 , 最小值 . (5) 求曲线y = x3－2x与y = x2所围阴影