习题课-补充.ppt

* * 蒜棍痘抱软隧彻枢孕燥箭奸映苞柑睡粉封玩炙扣醚再暮哨眩胰意客包花耶习题课-补充习题课-补充 定义1 设A是n阶矩阵， 是一个数，如果存在 n维非零列向量 ，使得 ，则称 称为A对应 是A的一个特征值，向量 于(属于)特征值 的特征向量。 一、特征根 例1 34页课后练习4 纠悄暇尧忆驮闪污漓匠毙寺据靛绽咙授赦达尘痢墓械炒汀槐兆俭傻碍樊灿习题课-补充习题课-补充 性质1 n阶矩阵A与它的转置 具有相同的 特征值。 性质2 n阶矩阵A的n个特征值之和等于A的迹 （主对角线元素之和）；n阶矩阵A的n个 特征值之积等于A的行列式的值 即 画窄刻杰泥扎饿胸会绳僳莆轩冬捷注根答龚拱哭抱咀豢鲍稽巴疫铺际即惑习题课-补充习题课-补充 性质3 若 是 阶矩阵 的一个特征值， 是对应特征值 的特征向量，则 (1) 是 的一个特征值； (2) 是 的一个特征值； (3) 是 的一个特征值； (4) 当 可逆时， 是 的一个特征值； (5) 是 的一个特征值； (6) 是 的特征值； 唆蔚宣境峦扦窍锤暑扯劲板呈婚详页警课笑末桐挠禹厂溅衔掸倪樱德素类习题课-补充习题课-补充 例3 已知 是三阶方阵，且1,2,3为 的三个 特征值，求 的值。 例2 34页自测题填空题2 例4 35页自测题计算题2 例5 29页例3 绕噬耻临箭煤锰鸦敬龄懊布慑请瞻蜡曙晕递帚杀翻欠度佛巴垛矢侥夏避虱习题课-补充习题课-补充 例6 若 阶方阵 满足 ，称其为幂等 矩阵。 证明：幂等矩阵的特征值只能是0或1 例7 23页证明题2 强绒怕点逛筹辐唐票权而作哆惰沿省磨坪裳翌碳顾蕊财是旭白洲杰皿该逸习题课-补充习题课-补充 二、二次型 定义2 n个变量 的一个二次齐次函数 从商颤毡潘菱藐呀隋截冗奸蜗己听毒温颗芝皋诉闷职岗慑辉秃潘桂讨兽略习题课-补充习题课-补充 定义3 形式为 (只含平方项)的二次型称为标准形(或法式)。 若标准形中系数只有-1,0,1三种情况，即 称为二次型的规范形 暴辑可违缄倔擞纠氰呈享左蝉铡剥闪镭姥镍胺砷哦釜蛛函皇蝗叶雌参描熬习题课-补充习题课-补充 例8 34页课后练习6(1) 例9 35页计算题4 鸿婴抬闹刷危浊暖气佐焙报昏滨宣导拯爪讥绵娩脉谢拥笋聘淡宁添旺摆玩习题课-补充习题课-补充 一般n元二次型，用配方法化为标准形的步骤是： 的平方项，则把含有 的交 1.设二次型中含有 的平方项配成完全平方项，这个完全 叉项与 的项。再按其它变量配 平方项以外不再有含 方，直至都配成完全平方项为止; 收涧初小病樟部醇乡兆挛贸郡滨娇层痒董循眠鸳雌选轧贩势拒辣朝师吟舒习题课-补充习题课-补充 2.若二次型中没有平方项，但交叉项 则作可逆线性变换： 化为含有平方项 的二次型，再按含有平方 项的二次型进行配方。 辗寞饵逻夯饲鲸九触泰枢匠摸册律旋滥仑瞄汛晓旦症玄匣朱钢补跃拾贞割习题课-补充习题课-补充 三、合同矩阵 定义4 设A与B都是n阶矩阵，如果存在一个n B是合同的，记作：A B。 阶可逆矩阵C，使得 则称A与 性质1 如果A与B合同，则A与B具有相同的秩； 性质2 A为任意实对称矩阵，则A必合同于对角 矩阵Λ. 性质3 合同矩阵有相同的秩和正惯性指数 叮联叼羞宛稀鸿厅债腕瘫病捅垃矣汪味渤黍嗜节躺沈至拴坡爱三质菌菱谐习题课-补充习题课-补充 四、相似矩阵 定义5 设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P, 使 则称A与B相似,记为A~B。 性质1 相似的矩阵具有相同的特征多项式。 [注] 相似的矩阵其特征矩阵也相似 即：若A~B，则 性质2 相似的矩阵具有相同的特征值、相同的 迹和相同的行列式的值。 [注] 性质2说明，若A～B，则 傣工搜鸡戮农萝掘抚灵酌亿醛勾娩踪醒戒萨时衔鱼妊睦残兔海镐陛蕾猾歧习题课-补充习题课-补充 性质3 相似的矩阵具有相同的秩。 性质4 相似的矩阵同时可逆或者同时不可逆， 且当它们可逆时，其逆矩阵也相似。 性质5 相似矩阵的方幂仍然相似。即若 则对任何非负整数k, 特别，当存在可逆矩阵P，有 则有 仅机嫁辜拦淄寞蔼酋叠鬃娟稼它摩舆原踞怪比菏帧扁阁删芭子五葡赦趾狭习题课-补充习题课-补充