二项式定理--教师版【DOC精选】.docVIP

第十讲 二项式定理 一、知识点与要点精编 1. 二项式定理 其中，：二项式展开式 ：二项式系数， ：二项式展开式通项，是第项 注意： n次展开式中共有n+1项 各项的次数和都等于二项式的幂指数n 通项公式表示的是第项，从第一项（）到最后一项（） 2. 杨辉三角形 展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 3．二项式系数性质 （1）对称性 ，即首相两端位置对称的两个二项式系数相等。 如图，二项式系数的分布以为对称轴。 （2）增减性 对称轴左侧，二项式系数递增 对称轴右侧，二项式系数递减 （3）最大值 是偶数时，取得最大值； 是奇数时，中间两项同时取得最大值 4. 二项式系数常用公式 （1）求和： （2）进阶公式： 数学意义：想象n+1个球中选择m个球。首先随机拿出一个球，记作球A。于是产生两种选择球的方法。法1，从剩下的n个球中选择m个球，即；法2，选择球A，在剩下的n个球中选择m-1个球，即。 二、热点与考点精讲 1. 利用通项公式求特定项系数 例1 （1）的展开式中，的系数与的系数之和等于 。 解: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）展开式中的系数是： 【答案】 解： 令，则，系数为 （3）（2x3－）7的展开式中常数项是： 【答案】14 解：T=C（2x3）（－）r=C2·（－1）r·x，当－+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C（－1）6·21=14 例2如果在（+）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项 【答案】T1=x4，T5=x，T9= 解：展开式中前三项的系数分别为1，，， 由题意得2×=1+，得n=8 设第r+1项为有理项，T=C··x，则r是4的倍数，所以r=0，4，8 2. 赋值法求部分系数 赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的。 一般来说，0，-1，1三个值用的情况最多。 例3. 已知 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）-1；（2）-1094；（3）1092；（4）2187 【解析】（3）没有；（4）奇数项系数均为负数 例4. （2009陕西理数） 若,则的值为 （A）2 （B）0 （C） （D） 【答案】C 【解析】；，原式+=0，易求。 3. 求二项式系数、系数的最值 根据二项式系数的对称性、增减性可以判断二项式系数的最大值。当n为偶数时中间项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项，的二项式系数相等且为最大 系数的最大值往往不同于二项式系数的最大值，需要利用数列的方法求出。 例5. 分别求展开式中二项式系数最大项、系数最大项 【答案】二项式系数最大：； 系数最大： 解：设第项系数最大， 则有，即 又 4. 二项式系数求和 涉及二项式系数求和有三个常用公式： 前两个公式常用于计算展开式的幂指数。第三个公式常用于化简表达式，由它可以导出一个常用推论： 例6. 展开式中含项的系数是： A B C D 【答案】B 【解析】 例7. 在的展开式中，已知奇数项的和为32，则项的系数为： 【答案】15 解：，于是 ，于是 三、重点与难点精练 1. 已知的展开式中有一项是，求m，n 【答案】n=8， 解：，于是n=8；带入展开式可以求出m。 2. 已知（x－）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是 A 28 B 38 C 1或38 D 1或28 【答案】C 【解析】：T=C·x8－r·（－ax－1）r=（－a）rC·x8－2r 令8－2r=0，∴r=4，（－a）4C=1120∴a=±2 当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1 当a=－2时，令x=1，则（1+2）8=38 3. （2008辽宁理数）已知的展开式中没有常数项,,则______. 【答案】5 解： 的通项是，分别于1、、相乘。没有常数项要求。 4. 求展开式中、的系数 【答案】80；210 解：原 由多项式的乘法法则，从以上5个括号中，一个括号内出现，其它四个括号出现常数项，则积为的一次项，此时系数为 ，有三种拆分。 5. 设展开式的各项系数和为t，其二项式系数和为h，若t+h=272，则展开式中有理项的系数是： 【答案】1 解：，求出n=4。r=4时出现有理项。 6. 已知，求 解： 令时，有 令时，有 ∵ ∴ 7. 已知： 试求：（1）；（2） 【答案】-243；（