二次函数中的三角形问题【DOC精选】.docVIP

二次函数中的三角形 例1：如图，已知在同一坐标系中，直线与y轴交于点P，抛物线与x轴交于两点。C是抛物线的顶点。 （1）求二次函数的最小值（用含k的代数式表示）； （2）若点A在点B的左侧，且。 ①当k取何值时，直线通过点B； ②是否存在实数k，使？如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。 例2：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点， （1）求m的取值范围； （2）若，直线经过点A，与y轴交于点D，且，求抛物线的解析式； （3）若A点在B点左边，在第一象限内，（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使直线PA平分的面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。 例3．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)。 (1)写出A、B、C、D及AD的中点E的坐标； (2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B、C的抛物线的解析式； (3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标； (4)△PEB的面积S△PEB与△PBC的面积S△PBC具有怎样的关系？证明你的结论。 例4.如图1，已知直线与抛物线交于两点． （1）求两点的坐标； （2）求线段的垂直平分线的解析式； （3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由． 例5. 如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且． （1）求抛物线的对称轴； （2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式； （3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由． 例6.如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，二次函数的图象记为抛物线． （1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点，但不过点，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）． （2）平移抛物线，使平移后的抛物线过两点，记为抛物线，如图②，求抛物线的函数表达式． （3）设抛物线的顶点为，为轴上一点．若，求点的坐标． （4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点，使为等腰三角形．若存在，请判断点共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师． 例7. 已知：如图，抛物线经过、、三点． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点C的直线与抛物线相交于点E （4，m），请求出△CBE的面积S的值； （3）在抛物线上求一点使得△ABP0为等腰三角形并写出点的坐标； （4）除（3）中所求的点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点，请说明理由． 例8.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB． (1)求点B的坐标； (2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？ 若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方， 那么△PAB是否有最大面积？ 若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积； 若没有，请说明理由． 例9：已知一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、C两点， （1）求出A、C两点的坐标； （2）在x轴上找出点B，使∽，若抛物线过A、B、C三点，求出此抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，设动点P、Q分别从A、B两点同时出发，以相同速度沿AC、BA向C、A运动，连结PQ，使，是否存在m的值，使以A、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由。 例11.在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B． （1）求直线CB的解析式； （2）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C是否在抛物线上？ （4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 △AOC相似？直接写出两组这