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二次根式 一、基础知识 知识点一：定义 形如√ā（a≥0）的式子叫做二次根式。（注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。） 最简二次根式 条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因式。 知识点二：取值范围 1.??? 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可2.??? 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，?，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式运算 (一)乘法和除法 　　1.积的算数平方根的性质 　　√ab=√a·√b（a≥0，b≥0） 　　2. 乘法法则 　　√a·√b=√ab（a≥0，b≥0） 　　二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 　　3.除法法则 　　√a÷√b=√a÷b（a≥0，b0） 　　二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。 　　4.有理化根式。 　　如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。 （二）加法和减法 　　1 同类二次根式 　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 　　2 合并同类二次根式 　　把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 　　3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 （三）二次根式的混合运算 　　1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 （四）分母有理化 　　分母有理化有两种方法 　　I.分母是单项式 　　如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b 　 　?II.分母是多项式 　　要利用平方差公式 　　如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b 　　如图 HYPERLINK /image/7ab514d1528912c5572c84cc \o 查看图片 \t _blank 注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。 二、例题 （一）. 基本概念型 例1. （2005年浙江省金华市）二次根式中，字母的取值范围是（ ） A. B. C. D. 析解：形如的式子叫二次根式，其中被开方数a的取值范围是。则二次根式中，，即，故选C。 说明：注意二次根式中被开方数是非负数这个隐含条件是解题关键。 例2. （2005年哈尔滨）在下列根式中，最简二次根式有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 析解：最简二次根式的概念是（1）被开方式的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。而。所以最简二次根式有两个，故选C。 例3. （2005年北京市）下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）