2007年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案与评分标准.docVIP

2007年全国初中数学联合竞赛 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1. 已知满足，则的值为 （ ） （A）1. （B）. （C）. （D）. 2．当分别取值，，，…，，，，…，，，时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ） （A）－1. （B）1. （C）0. （D）2007. 3. 设是△的三边长，二次函数在时取最小值，则△是 （ ） （A）等腰三角形. （B）锐角三角形. （C）钝角三角形. （D）直角三角形. 4. 已知锐角△的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则∠的度数是（ ） （A）30°. （B）45°. （C）60°. （D）75°. 5．设是△内任意一点，△、△、△的重心分别为、、的值为 （ ） （A）. （B）. （C）. （D）. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ） （A）. （B）. （C）. （D）. 7. 设，是的小数部分，是的小数部分，则______. 8. 对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作（），则=______ 9. 已知直角梯形的四条边长分别为，过、两点作圆,与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为____. 10． 若和均为四位数，且均为完全平方数，则整数的值是_____. 11.设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值. 12.如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点.证明：∠=∠. 13.已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根. 14.设为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值. 15.设是正整数，二次函数，反比例函数，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值. 16.设是正整数，如果二次函数和反比例函数的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值和对应的公共整点. 参考答案 B. 解 由得，所以，故选（B）. 注：本题也可用特殊值法来判断. C. 解 因为，即当分别取值，为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当时，.因此，当分别取值，，，…，，，，…，，，时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C）. D. 解 由题意可得即所以，，因此，所以△是直角三角形. 故选（D）. C. 解 锐角△的垂心在三角形内部，如图， 设△的外心为，为的中点，的延长线交⊙于点，连、，则//，//，则，所以∠＝30°，∠＝60°，所以∠＝∠＝60°.故选（C）. A. 解 分别延长、、的三边、、、、、、分别为△、△、△的重心、、、、. 易证△∽△，且相似比为，所以. 所以.故选（A）. B. 解 设摸出的15个球中有个红球、个黑球、个白球，则都是正整数，且，.因为，所以可取值2，3，4，5. 当时，只有一种可能，即； 当时，，有2种可能，或； 当时，，有3种可能，或或； 当时，，有4种可能，或或或. 因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为.故选（B）. 解 ∵，而，∴. 又∵，而，∴.∴， ∴. 解 由根与系数的关系得，，所以 ， 则， ＝. 解 延长交⊙于点， 设的中点分别为点，则易知.因为，由割线定理，易证，所以. 解 设，，则，两式相减得 ，因为101是质数，且，所以，故.代入，整理得，解得，或（舍去）. 所以. 解 因为一元二次方程的两根分别为和，所以二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为. 由题意，，即，即. 由题意知，，且上式对一切实数恒成立，所以 所以或 证明 设与交于点，∵//， ∴△∽△，∴, ∴. 又∵//，∴△∽△，∴, ∴. ∴,故 又∠=∠，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PMC，∴NF//MC