向量代数、平面与直线讲义.pptVIP

例2. 已知两点 和 解 求与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方向 相同的单位向量 2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点O, 称? =∠AOB (0≤ ?≤ ? )为向量 的夹角. 与三坐标向量 i, j, k 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. 记作 在直角坐标系中， 的夹角? , ? , ? 方向余弦的性质: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 已知两点 和 的模 、方向余弦和方向角 . 解： 计算向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.向量在轴上的投影 取定点 O 及单位向量 e 确定u轴（见右下图）， 定义 任给向量 r，作 OM ＝ r ，再过点 M 作与 u 轴垂直的 平面交 u 轴于点 M’ ，则点 M’ 称为点 M 在 u 轴上的 投影，向量 OM’ 称为向量 r 在 u 轴上的分量。设 OM’ ＝ λe，则数 λ 称为向量 r 在 u 轴上的投影。 记作 M1 M2 A1(O) A2 补充 向量的投影具有与坐标相同的性质: 性质1 性质2 性质3 其中φ是向量α与u 轴的夹角。 由定义知，向量 在直角坐标系 Oxyz 的坐标就是 在三条坐标轴上的投影，即 第三章 向量代数、平面与直线 §3.1 向量及其线性运算 §3.2 数量积 向量积 混合积 §3.3 平面及其方程 §3.4 空间直线的方程 §2.1 向量代数及其线性运算 一、 向量的概念及其表示 二、 向量的线性运算 四、 空间直角坐标系 五、 利用坐标进行向量的线性运算 六、 向量的模、方向角、投影 三、 共线向量和共面向量 一、 向量的概念及其表示 10 向量：把既有大小、又有方向的量称为向量或矢量. 1、概念 以A为起点,B为终点的向量用符号 表示. a A B 或黑体英文字母a、b、c…表示向量，有时也用 大写字母上加一箭头来表示，如 …. 20 表示方法 为了方便，也常用黑体希腊字母 、β、 …， 向量的大小叫做向量的模，或向量的长度. 、a 的模依次记作 | |、| |、|a|. 向量 、 30 向量的模 解析几何中所说的向量只考虑它的大小和方向而不计较它的起点位置，因此它可以平行移动，这种向量也称为自由向量. 所以，如果两个向量α和β长度相等，方向 相同，就称这两个向量相等，记作α=β. 例如 在平行四边形ABCD中， AB=DC. AB=DC，AD=BC， 40 自由向量 50 反向量 与向量α的长度相等，方向相反的向量，称为α的反向量或负向量，记作 -α. 显然，如β是α的负向量(β=-α)，那么α也是β的负向量(α=-β). 在平行四边形ABCD中， 按定义，显然 AB=-BA. AB=-CD，AD=-CB， 例如 60 零向量 长度为0的向量称为零向量，记作0. 零向量实质上是起点与终点重合的向量，它的方向是不确定的，也可以说它的方向是任意的，可根据需要来选取它的方向. 70 单位向量 长度为1的向量叫做单位向量. 二、 向量的线性运算 1、加法运算 10 平行四边形法则 O A B C α β α+β=γ 定义1 以一点O 作向量OA=α,OB=β，再以OA，OB为边作平形四边形OACB，称向量OC=γ为向量OA和OB之和，记作OA+OB=OC，或α+β=γ.(称为向量加法的平行四边形法则). 20、三角形法则 O A α B β α+β=γ 由定义不难验证向量加法有下列基本性质： 定义2 从一点O作向量OA=α，再由A点作向量AB=β，称向量OB =γ是向量OA与AB的和，记作OA+AB=OB，或α+β=γ. 向量加法的基本性质： 对于任意向量α、β、γ，有 (1) α+β=β+α(交换律)； (2) (α+β)+γ=α+(β+γ)(结合律)； (3) α+0=0+α=α； (4) α+(-α)=0. γ α β α+β (α+β)+γ=α+(β+γ) 三个向量α，β，γ的和可以简记为α+β+γ, n个向量α1，α2，…，αn的和可以简记为α1+α2+…+αn 。 α1 α2 α5 α3 s=α1+α2+α3+α4+α5 α4 s 例如 2、减法运算 定义3 我们规定两个向量α与β的差α-β是α与-β的和，即α-β=α+(-β).按三角形法则，α-β是由β的终点到α的终点的向量. α β α-β 向量的减法可看作向量加法的逆运算，即如α+β=γ，则α