函数的对称性和周期性.docVIP

函数的对称性和周期性 一.明确复习目标 1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期； 2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。 3.掌握常见的函数对称问题 二、建构知识网络 一、两个函数的图象对称性 与关于轴对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。 与关于Y轴对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。 与关于直线对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。 与关于直线对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。 关于点对称。 换种说法：与若满足，即它们关于点对称。 与关于直线对称。 二、单个函数的对称性 性质1：函数满足时，函数的图象关于直线对称。 证明：在函数上任取一点，则，点关于直线 的对称点，当时 故点也在函数图象上。 由于点是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线对称。 （注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。） 性质2：函数满足时，函数的图象关于点（，）对称。 证明：在函数上任取一点，则，点关于点 （，）的对称点（，c－y1），当时， 即点（，c－y1）在函数的图象上。 由于点为函数图象上的任意一点可知 函数的图象关于点（，）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。） 性质3：函数的图象与的图象关于直线对称。 证明：在函数上任取一点，则，点关于直线对称点（，y1）。 由于 故点（，y1）在函数上。 由点是函数图象上任一点 因此与关于直线对称。 三、周期性 1、一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。 推广：若，则是周期函数，是它的一个周期 2.若是周期，则也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数； 3、对于非零常数，若函数满足，则函数必有一个周期为。 证明： ∴函数的一个周期为。 4、对于非零常数，函数满足，则函数的一个周期为。 证明：。 5、对于非零常数，函数满足，则函数的一个周期为。 证明：。 6、对于非零常数，函数满足或则函数的一个周期为。 证明：先看第一个关系式 第二个式子与第一的证明方法相同 7、已知函数的定义域为，且对任意正整数都有 证明： （1） （2） 两式相加得： 四、对称性和周期性之间的联系 性质1：函数满足，，求证：函数是周期函数。 证明：∵得 得 ∴ ∴ ∴函数是周期函数，且是一个周期。 性质2：函数满足和时，函数是周期函数。（函数图象有两个对称中心（a，）、（b，）时，函数是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期） 证明：由 得 得 ∴函数是以为周期的函数。 性质3：函数有一个对称中心（a，c）和一个对称轴（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是。 证明： 推论：若定义在上的函数的图象关于直线和点对称，则是周期函数，是它的一个周期 证明：由已知 举例:等. 性质4：若函数对定义域内的任意满足：,则为函数的周期。（若满足则的图象以为图象的对称轴，应注意二者的区别) 证明： 性质5：已知函数对任意实数,都有是以 为周期的函数 证明： 五、典型例题 例1 （2005·福建理）是定义在上的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 解：是上的奇函数，则，由得， ∴ ∴=1，2，3，4，5时， 这是答案中的五个解。 但是 又 知 而 知 也成立， 可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。 例3 已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ ） (A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 解：因为是定义在上的奇函数 所以，又，故函数，的周期为4 所以，选B 例4．已知奇函数满足的值为 。 解： 例5 已知是以2为周期的偶函数，且当时，. 求在上的解析式。 解法1： 从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上 ∵ , 则 ∴, ∵ ，是偶函数 ∴ 解法2： （从图象入手也可解决，且较直观） 如图：, .∵是偶函数 ∴时 又周期为2，时 ∴ 例6 的定义域是，且,若 求