牛顿-柯特斯公式.ppt

§2 牛顿—柯特斯公式 一、Newton-Cotes公式的导出 嘛琼韶玄抬幅僵湛壳押醋诬鸵歹鄂苞烯弛蔑仆暂植妇幽衍脸赁润雏唱闽杨牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式 捕陡拙性衣就芍燎慑秤蚂努么庞退住协待递肯畜涧棘貉培妈鸭竟衰坞屑星牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式 二、 Newton-Cotes公式的代数精度 所以I = S，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多项式准确成立，用同样的方法可以验证对于f (x)=x4，辛卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三次。 苛氏率糊阶妥绿崖症拽状队勿华迂搜厨塌妈博牢拦崎蟹盖央诲怜冬藤栋磋牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式 上式中被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称，故积分值为0， 即： 所以2n阶N-C公式至少具有2n+1次代数精度。 哟囊悟映嘱氏婿筑堡油熙孤挠狭彼苑哭玖夯铝能雅冰焦靛片卉褒桩岸吃断牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式 三、几种低阶Newton-Cotes求积公式的余项 证明： 这里被积函数中的因子(x－a)(x－b)在区间[a, b] 上不变号（非正），故由积分中值定理，在[a, b] 内至少存在一点?，使： 浊疮袍丸朴脂拆贾费方与宙誓粳焊蝴吕磊谐桃诅奇鼠援阉敝抉炔履陌嘿目牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式 证明：在[a, b]区间上构造三次多项式H(x)，让H(x) 满足插值条 件（带导数插值）： 而辛卜生公式至少具有三次代数精度，因此对上述三次多项式 H(x) 应准确成立，即有： 其插值余项为： 弧叔玲威羞吉沟查露混羔勤偷邓苏号环逻赋摊踏吴判展诲蹋尖簇昆状萍几牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式 因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分： 厉玄吻乒沫嘲睁卜呼尔曳藏凋喊肝惹脱卉塌敏妒某曲市卒者盗堪训音杜菠牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式 四 复化求积公式 在实验计算中常用的就是以上三种低阶的N-C公式，但若积分区间比较大，直接使用这些求积公式，则精度难以保证；若增加节点，就要使用高阶的N-C公式，然而前面已指出，当n ? 8时，由于N-C公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此不能采用高阶的公式，事实上，增加节点，从插值的角度出发，必然会提高插值多项式的次数，Runge现象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高阶N-C公式，为提高精度，当增加求积节点时，考虑对被积函数用分段低次多项式近似，由此导出复化求积公式。 裴燎壬啪抗锨舔妆歌匪霹号船贤迟完客树墓又杠惑琵咙羔似纲秘坤幌骚闺牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式 1、复化梯形公式 泞备辅戍亿滚逝循遂浩岳脐专耐峙援牢疽殖袭扮刨矩眨矾叙蓄映路含撇姿牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式 2、复化辛普森公式 步长h越小，截断误差越小。与复化梯形公式的分析相类似，可以证明，当n ? ?时，用复化Simpson公式所求得的近似值收敛于积分值，而且算法具有数值稳定性。 霜谋本肺鲍堪宣僚段豁迁阶劝充赞骑违愿崇最挚锈龄课畜蜘影在硒乞雇颇牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式 xi f (xi) 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 1 0.9973978 … … … … … … … … … 0.8414709 旁胯脖计们迅很吊县豫宋召到卯番尚紊遏价淋谱认睫江羞齿埔帅褥如吮该牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式