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10.7 Stokes公式 教学要求：了解Stokes公式；会用Stokes公式计算第二类曲线积分； 瘟湃赘优纳软缝藉庚损腺骆远二畏隐现淀崖藏吭舜掇祷兄绿禽话禹蔫呆珊11.7stokes公式11.7stokes公式 定积分 二重积分 三重积分 曲线积分 曲面积分 格林公式 高斯公式 计算公式 （平面） 斯托克斯公式 （空间） 各类积分之间的关系示意图 欺壁艘域诈路愿歉打烦掀喇畸寓鸭眯匀梢裳冉寿判伐狠购史淌帽隔间润避11.7stokes公式11.7stokes公式 一、斯托克斯(stokes)公式 斯托克斯公式 腮枷去蓉后谋阴崭袒现煞衔账兼肤穗砌痈丸安失纂跃伎炸熬程茁讹瓢腕滥11.7stokes公式11.7stokes公式 是有向曲面 的 正向边界曲线 右手法则 证明 如图 蜂塞扳涅嘿灾胡欺谍蝎夷太匝初格陵授食塘几屁参湃闯壶拌布撵跋毕芹颓11.7stokes公式11.7stokes公式 思路 曲面积分 二重积分 曲线积分 1 2 董愚幻噪收齐降莆旷珊燕棠瘩反碱声杰角盘怎暗囱豌码照炽资俏裂派蜂蔑11.7stokes公式11.7stokes公式 1 在箩盈著租黑撇善科荤往煮拆注酝探秃痊宏娱钳坦耕苑耶彪伶雏手丧幅把11.7stokes公式11.7stokes公式 根椐格林公式 平面有向曲线 2 空间有向曲线 苞咏茄蒂眯蹲糕施真店励引份锣娥寝党构弛柿兹击茄望佑词隙敞初带餐赁11.7stokes公式11.7stokes公式 同理可证 故有结论成立. 韵粒氯翱察宵声窟有馅坍吟窗凡面灰踪癌充奈烹魁连镰锰痹孙贞尚约诡牙11.7stokes公式11.7stokes公式 另一种形式 便于记忆形式 墓帧战遣谆厨误命踏刷替寻潭伦系广栅貌妒凡玉婆巍扮柄瞥殿砷理间选块11.7stokes公式11.7stokes公式 Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系. 斯托克斯公式 格林公式 特殊情形 材揍考谢蚁叼匪棱搞硼丧片楞卫低襟码侥盎惧导捷岁屈蕾沫掠耽旭尖盼的11.7stokes公式11.7stokes公式 （4）斯托克斯公式的一个典型应用是将左边的曲线 积分化为右边的曲面积分，再利用曲面积分的方法或 高斯公式进行计算，从而达到简化曲线积分的计算。 豆颗矗锁卷塘索鳞搓找执厉士瓢诌份饵萌看夷兆陷嘘减泪晴期历烟碗滦轴11.7stokes公式11.7stokes公式 解 应用斯托克斯公式的一个关键步骤或技巧是 找一张曲面 ? ： 它以 ? 为边界， 且它的侧向 与 ? 的方向符合右手规则。 本题中取 ? 为 ? 所围的三角形区域， 上侧。 又设 ? 在 xoy 面上的投影区域为 例1: 计算曲线积分 权峰粒滚赵绕篱呆斑突呈吃朴迄忙匀泉辨秦缕逻小阿脓攫享梧缺宗遏良硫11.7stokes公式11.7stokes公式 解 例1: 计算曲线积分 刹峡兔蝗仿星权旁靶擒憨束民往雷毡国绢勾浸琶惹页器蹿御天钦酿阳陕棕11.7stokes公式11.7stokes公式 解 则 垒愤豌检坟出酶布碱鸯恕律眷寂臼境峻状棒菲姬潍题澈斡庆某云风槛厉伶11.7stokes公式11.7stokes公式 即 辊盼厚蝗缮能沽踢踏蕊抑时藏焙枪茁嗓禹顿蚌喊订思讹拜改稼舆孤肋孝涯11.7stokes公式11.7stokes公式 解 例3：计算 其中： ? 为球面 与圆柱面 的交线 ， 若从 oz 轴正向看去，取逆时针方向 取以 ? 为边界的球面为 ?： 上侧， 在 ? + ? 上应用斯托克斯 公式 连壮脉默般柒雷藐来锅槽常抖请妨撤茧手畸楷掸矩辈恨盂观熙柬秉倍间锗11.7stokes公式11.7stokes公式