可测函数的几个等价定义讲义.doc

本科生毕业设计（论文） 论 文 题 目： 姓 名： 李俊 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 年 级 、 学 号： 指 导 教 师： 王天军 可测函数的几个等价定义 摘要 我们从小学到大学基本上所学的函数基本都属于连续函数，我们所学习的连续函数虽然简单但不能完全表达在实变函数中所需要的实质性意义。在实变函数中所学习的函数不同于简单连续函数，它要比连续函数要广泛的多，它就是建立在可测集上可测函数。可测函数实际上包括了很多不连续的函数，例如我们学习的狄利克雷函数等。本文将介绍可测函数的几个常见的定义，并通过这几个定义探讨可测函数与简单函数之间的联系，从而寻找可测函数几个定义之间的等价性，来发现可测函数定义更加深刻的内涵。 关键词：可测函数；连续函数；等价定义 Some equivalent definitions of measurable function Abstract We from primary school to university basically the basic functions are continuous functions. Our study of continuous function although simple but not fully expressed in real variable function of substantive significance. In real variable function, the function of the function is different from the simple continuous function. It is much more extensive than the continuous function. It is set up measurable function on measurable set.. Measurable functions actually include many discontinuous functions, such as the de Lickley function of our study.. Will be introduced in this paper can be measured as a function of several common definitions of, and through these definitions probes can test the link between function and a simple function, in order to find measurable equivalence between the function definitions, to find measurable function defined on a more profound connotation. Key words: Measurable function; continuous function; Equivalence definition 目 录 中文摘要 I 英文摘要 II 引言 1 1. 测度论 2 1.1外侧度的定义 2 1.2可测集 2 2.可测函数 4 2.1可测函数的几种常见定义 4 3．可测函数的性质 6 4可测函数与简单函数的关系 8 4.1可测函数与简单函数的收敛关系[7] 9 5可测函数的构造 11 5.1鲁津定理[8] 11 5.2鲁津定理的证明 11 6.可测函数定义之间的等价性 12 6.1可测函数定义的应用 14 6.2可测函数定义之间的关系 16 结束语 17 参考文献 17 引言 实变函数的创立是在数学发展史上是一个伟大的奇迹。它是普通微积分血的延续，实变函数的建立克服了微积分学存在的缺点，使得数学的发展得到了极大地进步。在实变函数学习的过程中，可测函数是学习并且学好实变函数的理论基础。而可测函数相对于简单函数是建立在一个新的理论之上，我们称之为测度论，要了解实变函数中的可测函数必须先了解什么是可测集。所以本文将从测度论开始探讨可测函数的