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专题1 函数、导数与不等式 一、考情报告 年份 题型 小题 大题 2007年 第2题，集合，解不等式； 第11题，考查反函数的概念； 第15题，函数的应用. 第20题：导数的几何意义，利用导数求最值和证明函数不等式，考查综合运用数学知识解决问题的能力. 2008年 第4题，考查函数的定义域； 第7题，导数，函数的单调性； 第13题，函数的概念. 第20题：导数在实际问题中的应用，解不等式，利用导数求最值. 2009年 第2题，反函数的概念； 第11题，解不等式； 第14题，函数、导数. 第21题：极值、切线、最值，考查函数方程思想（恒成立问题）. 2010年 第10题，充要条件； 第15题，几何平均数、调和平均数的几何意义. 第22题：导数的应用，考查切线、恒成立问题，证明数列不等式. 2011年 第6题，函数的奇偶性、解析式； 第10题，函数的应用. 第22题：利用导数求最值，证明不等式. 2012年 第2题，考查二次函数和定积分求面积； 第9题，考查函数的零点问题。 第22题：利用导数求最值，利用数学归纳法证明不等式. 2013年 第2题，集合的运算，不等式的解法； 第7题，定积分； 第10题，利用导数研究函数的单调性和极值； 第13题，柯西不等式的应用； 第22题，利用导数研究函数最值问题，不等式恒成立以及不等式证明问题，考查等价转化思想、考查学生对参数的处理能力以及推理论证能力. 二、高考回放 【2007年第20题（理科），13分】 已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同． （I）用表示，并求的最大值； （II）求证：． 本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力． 解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同． ，，由题意，． 即由得：，或（舍去）． 即有． 令，则．于是 当，即时，； 当，即时，． 故在为增函数，在为减函数， 于是在的最大值为． （Ⅱ）设， 则． 故在为减函数，在为增函数， 于是函数在上的最小值是． 故当时，有，即当时，． 【2008年第20题（理科），12分】 水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为 （Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？ （Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）. 本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）①当时，，化简得, 解得，或，又，故. ②当时，，化简得, 解得，又,故. 综合得,或； 故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知：的最大值只能在（4，10）内达到. 由 令，解得(舍去). 当变化时，与的变化情况如下表： (4,8) 8 (8,10) + 0 - 极大值 由上表，在t＝8时取得最大值(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米 【2009年第21题（理科），14分】 在R上定义运算（b、c为实常数）。记，，.令. 如果函数在处有极值,试确定b、c的值； 求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点； 记的最大值为.若对任意的b、c恒成立，试示的最大值。 本题主要考查函数、函数的导数、极值、切线和不等式等基本知识，考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想. 解： （3）∵ 当时，对称轴位于区间之外 ∴在端点处取得最值， ∴ ∴ ∴ 当时，对称轴位于区间内， ∴ ∴ 综上，，故对任意的b、c恒成立，的最大值为. 【2010年第21题（理科），14分】 已知函数的图象在点处的切线方程为． （Ⅰ）用表示出，； （Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）. 本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想. 解：（Ⅰ），则， 点在直线上，则，那么， 所以，． （Ⅱ）记， 则． ①当时，，那么时， 那么在时为增函数，则， 那么恒成立，则在上恒成立． ②当时，， 那么时，时， 知此时， 由题意应有． 以下证明在时无解， 记，， 因为，则，则， 则在时为增函数，那么， 说明总有，即， 那么不等式在时无解． 由①②的讨论知在上恒成立，的取值范围是． （Ⅲ）时，在上成立， 则在上成立，因为， 则，则， 分别取，则，， ，…，， 以上个式子相加， 则，