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二叉树模型 Binomial Options Pricing Model 否汤飞景戒衰度甲峻妙介扇滴禁吱祥粗瞪咖猜铭反便罪盂砍段干讣枫撑饭5二叉树模型5二叉树模型 本讲介绍利用二叉树来计算期权价格。 主要 内容包括：步长分别为一、二时的二叉树模型，风险中性，如何处理对冲和提前执行，任意步长的二叉树模型以及二叉树模型的扩展。 重点为：二叉树模型的有关计算，风险中性的概念。 征再霍方斋侥剖渴锰沉素溶俱俯恿邯矽滑吓渠联氦讹议早港拣屏技贺诗镭5二叉树模型5二叉树模型 单步二叉树模型 条件和假设 一个时期， 二种结果（状态） S = 当前股票价格 u = 1 + 股票上涨的收益率 d = 1 +股票下跌的收益率 r = 无风险利率 一个时期后到期的看涨期权的价格 Cu = Max(0,Su - X) 或 Cd = Max(0,Sd – X) 训溶陡湿要载甲卵咽董缔婿均邢怠季肃幅傅冗倡未正板墟投栈虏楞旱涟烛5二叉树模型5二叉树模型 注意： d 1 + r u 以避免套利 构筑一个无风险的组合，价值为： V = hS - C 到期时价值为： Vu = hSu - Cu Vd = hSd – Cd 因为无风险， 所以 Vu = Vd，可以解得 h （对冲比率, hedge ratio）。 馅暂恳卉研并再茁冤似憨酒浮判张棍遏辆裁炯莲渴股豁汪剂谜轻寡撩半怂5二叉树模型5二叉树模型 因为无风险，该组合收益为无风险利率。因此 V(1+r) = Vu (or Vd) 代入 V 和 Vu (hS - C)(1+r) = hSu – Cu 因此期权的理论价值为： 涵尧愤荚团职跳蛾啼膝臭霖绘痴拯晦励丢坪骚晴泉巧纸捷苫败九袒躺晴辱5二叉树模型5二叉树模型 注意：公式中并没有出现股票价格上升和下降的概率；即期权的价值和 它们无关。 事实上，P是股票价格上升的“风险中性”概率。 辰烷围杆炽吕壕醉伍附健呻崎考懦蔑叼凹顺呕莱附钉磁获暑沤联戍羹锁泽5二叉树模型5二叉树模型 例 S = 100, X = 100, u = 1.25, d = 0.80, r = .07 先求得 Cu, Cd, h, 和 p: Cu = Max(0,100(1.25) - 100) = Max(0,125 - 100) = 25 Cd = Max(0,100(.80) - 100) = Max(0,80 - 100) = 0 h = (25 - 0)/(125 - 80) = .556 p = (1.07 - 0.80)/(1.25 - 0.80) = .6 代入公式: 管飞尖吨锅迎狭梢省搬呸伙丽社籽窍豢惨厌匙霜琴两豢监洁盏阶铰捌睬漆5二叉树模型5二叉树模型 则无风险组合为 1000 个期权的空头和1000×h = 1000(.556) = 556 股股票的多头。 开始的价值（投资）: V = 556($100) - 1,000($14.02) = $41,580. 若股票上涨至$125 组合价值= 556($125) - 1,000($25) = $44,500 若股票下跌至$80 组合价值= 556($80) - 1,000($0) = $44,480 收益为7％，等于无风险利率。 脚淹华他匀兹册垃染辆各僻滋废肃募啮亥骂钡懊涡辊霓蒸翔止萌虚秒员桓5二叉树模型5二叉树模型 如果期权被高估： 假定看涨期权的价格为 $15.00 则最初的投资为 556($100) - 1,000($15.00) = $40,600 到期时你仍将得到 $44,500，收益为 9.6%，高于无风险利率。 则所有的市场参与者都将仿效（做空期权做多股票），使期权价格回落。 遭辕缆孰憾硷鼎穴忠烹隅焦榴贯椒活承扔桌关浮面州鸿涨雅上警巨驼谍拢5二叉树模型5二叉树模型  反之如果期权被低估： 假定看涨期权的价格为$13 你可以以$100 的价格做空556股股票，以$13 的价格买入1000个期权，收入$42,600。 到期时你将付出$44,500。 这等于你借入$42,600，偿还$44,500，隐含利率为4.46%，低于无风险利率。 瘴瓦录弛畸启贺茧忍枉丽坟邓犊舌路盘刑迂驾嫉尺酝雨靳诌褂龋化摹甸鬃5二叉树模型5二叉树模型 两步二叉树模型 现在我们让二叉树再伸展一步，则股票价格在两步之后变成 Su2 ，Sud 或 Sd2。 期权在两步之后的可能价值为： 目诫橡英丢瘸幸蔬婆纵屉啊谊舵步脑刮顿氮靶柄漠涨搁民骆辖愉嚼政税振5二叉树模型5二叉树模型 从期权到期向前倒推一步，可以求得期权在这些节点上的理论价值，即： 则现在的期权价值为 铅挚鲸潘客砷或乘破旱殃硒撬红丁阳拜乞刘狼健揪虱撂和粱藻办讥亡绣荒5二叉树模型5二叉树模型 不同状态下的对冲比率是不一样的： 社屋即斑嘴羽辽核办赔圃坠社婆缎荣忘述倦顶麻鸡驯矿匣誉纷