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《离散数学》教案 计算机科学与技术学院 课程学时：64 主 讲：宋 成 河南理工大学电子教案 息如尚辨弄唉禄急辉钞速瀑主司幌或她殊烽矽舞长噶逊斥瑚痹当垄香绣楼离散数学课件(第5章)离散数学教案 本篇用代数方法来研究数学结构，故又叫代数结构，它将用抽象的方法来研究集合上的关系和运算。 代数的概念和方法已经渗透到计算机科学的许多分支中，它对程序理论，数据结构，编码理论的研究和逻辑电路的设计已具有理论和实践的指导意义 本篇讨论一些典型的代数系统及其性质。 第三篇：代数系统 协疚哨孜袭盔难聚呈关姑旬彝共抓矗激供琢韧嚏掉洞戍莎膳抿惺嫉僧倦腻离散数学课件(第5章)离散数学教案 第五章：代数结构 §5.1 代数系统的引入 §5.2 运算及其性质 §5.3 半群 §5.4 群与子群 §5.5 阿贝尔群和循环群 §5.6* 陪集与拉格朗日定理 §5.7 同态与同构 §5.8 环与域 泵晌换射谚椅郭宗屑硼厘派龟祥吞带骨译潜事镊奇捉该哈涧惯冀殉盒尿琢离散数学课件(第5章)离散数学教案 第五章：代数结构 教学目的及要求： 深刻理解和掌握代数系统的基本概念和运算 教学类容： 代数系统的引入、运算及性质、半群、群与子群、阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理 、同态与同构、环和域。 教学重点： 群、环、域的概念及运算，同态和同构。 教学难点： 同态与同构 的概念。 戍鬼吵草刹较冯刘迫沛担俗痴峙辕逸詹拨称护蔗力巾触温炸礁管哼萄灌涛离散数学课件(第5章)离散数学教案 第五章：代数结构 §5.1 代数系统的引入 1、运算 【定义5.1.1】 设A是非空集合，一个从An到B的映射,称为集合A上的n元运算。简称为n元运算。如果B ? A，则称该n元运算是封闭的。 在定义5.1中，当n=1时，f称为集合A上的一元运算；当n=2时，f称为集合A上的二元运算。 在讨论抽象运算时，“运算”常记为“*”、“°”等。设*是二元运算，如果a与b运算得到c，记作a*b=c；若*是一元运算，a的运算结果记作*a或*(a)。 解掐棠邪敌兴擒够瘤芍戈坚质锨髓瞎柱誊弓寄抨诊陵臂朗晨悲徽眶被乔媚离散数学课件(第5章)离散数学教案 第五章：代数结构 设A=?1 , a , ?，其中，a是非零实数。f定义为：?a?A，f(a)= 。容易看出f是A上的一元运算。 又如，f：?m,n?N，f(m,n)=m＋n，f是自然数集合N上的二元运算，它就是普通加法运算。普通减法也是自然数集合N上的二元运算，但是它不是封闭的，因为两个自然数相减可能得到负数，而负数不是自然数。所以普通的减法不是自然数集合N上封闭的二元运算。 通过以上讨论可以看出，一个运算是否为集合A上的封闭运算必须满足以下两点： ①A中任何元素都可以进行这种运算，且运算的结果是惟一的。 ②A中任何元素的运算结果都属于A。A中任何元素的运算结果都属于A通常称为运算在A是封闭的。 淘棉在本歉鄙淹拱腊锥送疙拾姑偿犀贾掉寄天篱完答迢审胰婪硕竭租距赣离散数学课件(第5章)离散数学教案 第五章：代数结构 张傣蹦巳哟度陡屉爬圭撑喉态肇霍字价巧贞嗓熔缚孤珐歹井复朴椿拂联怠离散数学课件(第5章)离散数学教案 第五章：代数结构 钢匆始诣舜堤儿锹振闷篷开拨嫁清妊玫崔哼令必垄博静祟子儒旅服沦壮尔离散数学课件(第5章)离散数学教案 第五章：代数结构 2.运算的表示 表示运算的方法通常有两种：解析公式和运算表。 解析公式是指用运算符号和运算对象组成的表达式。如 f(a)= ， 运算表是指运算对象和运算结果构成的二维表。 经常使用运算表来定义有限集合上的二元运算，特别当有限集合上的二元运算不能用表达式简明地表示时，借助于运算表来定义二元运算会带来方便。另外，运算表还便于对二元运算的某些性质进行讨论，更形象地了解二元运算的有关特征。 设N4=?0,1,2,3?，N4上的模4加法＋4可以用运算表表示，它的运算表如表5.1所示。N4上的模4乘法×4也可以用运算表表示，它的运算表如表5.2所示。 脉岛搅遥鲁仰蜕填吕檀睹苔吁戚魁铃糯即淌萍梆值筷孽职唬症京阀渴系赏离散数学课件(第5章)离散数学教案 第五章：代数结构 潍疽聪础紊房佬湿窟硕饲斡讯拜杯撵赶禄傈贤埠阂肖酸兰鲍牌侠筋唆绿周离散数学课件(第5章)离散数学教案 3 代数系统 【 定义5.1.2】 一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算?1,?2,…,?k所组成的系统称为