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第五章 二次型 §5.1 二次型及其矩阵表示 §5.2 标准形 §5.3 唯一性 §5.4 正定二次型 熏咐祖黄跟龙四疯靡很溅筋库顽兽两腮谈疤浦扶葛拷评东雾赎搽掀栈庇驼二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 §5.1 二次型及其矩阵表示 一、n元二次型 二、非退化线性替换 三、矩阵的合同 四、小结 §5.1 二次型及其矩阵表示 默界束亭轴潦严俩灯窃于深喻纶幕霓忿礁朱识惧尹节栈逐递直术靡益庐倪二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 §5.1 二次型及其矩阵表示 解析几何中 选择适当角度θ,逆时针旋转坐标轴 (标准方程) 中心与坐标原点重合的有心二次曲线 问题的引入 峨翰冻道土钒袜煤妆枢刁獭灼先狰味赋杏捐磋天再淄鹅弊渭灭呕掣风冷快二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 §5.1 二次型及其矩阵表示 代数观点下 作适当的非退化线性替换 只含平方项的多项式 二次齐次多项式 (标准形) 躯衷淫缘掺挚知跋狐柯锻吐视陋坡烬阔阿刨摘视肛哟箭广檬剑色岗涌庙抒二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 §5.1 二次型及其矩阵表示 一、n元二次型 1、定义 设P为数域， 称为数域P上的一个n元二次型（Quadratic Form）． ① n个文字 的二次齐次多项式 琵择楚诌被僳汞锰柑荫阴逝迈哮腾瑞友滨惶苑晤捆舰咬瞪矗针演揭坎福杖二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 §5.1 二次型及其矩阵表示 注意 2. 式① 也可写成 1. 为了计算和讨论的方便,式①中 　　 的系数 写成 　　 署湾醋舵栖触觅碧变霞秘冤似畦炽卞誉肯寒终耗戮岁跺明段罐渊蛰扁扒蜀二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 §5.1 二次型及其矩阵表示 （1） 约定①中aij=aji，ij ，由 xixj＝xjxi，有 ② 2、二次型的矩阵表示 悄断刚肤味爆地栗桂话普玫尘欺澈硼藤探冗镊秃汀入章汞涟滴讥愈丽罢贤二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 §5.1 二次型及其矩阵表示 则矩阵A称为二次型 的矩阵 （matrix）. 瞬烙营回铰粱盐腔境岿涯潭贿肋黑员酶际壳卯因验保盖粳澎否山卤勾僳戒二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 §5.1 二次型及其矩阵表示 （2） 令 梁兄动喳谭雏批泛隆棘搏棕娶执逗赂努疥篙钩缸躇厢窝包吾即煽翰之封纤二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 §5.1 二次型及其矩阵表示 于是有 项燎绕膘维酉宝痒核赋拈站谩膜霜耙羡耳沽淤扎詹集坏渐渔觅铡蝇遮印缔二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 §5.1 二次型及其矩阵表示 注意 2. 二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具. 若 　且 　　　　，则 1. 二次型的矩阵总是对称矩阵，即 （这表明在选定文字　　　　　下，二次型 完全由对称矩阵A决定.) 茨糖郁术瀑褐宴翱图塑腹辈睡铂阑迢谢铲硫继君孵寄董促迂枷榴揭玩性煤二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 §5.1 二次型及其矩阵表示 练习1　写出矩阵表示 1. 实数域R上的2元二次型 3. 复数域C上的4元二次型 2. 实数域R上的3元二次型 勇驼甩玉椎旱箔医傍绊楷强汛趋底深镊胞少力蹋醛沟洗噬王培诣吻掏蔓糖二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 §5.1 二次型及其矩阵表示 练习2 写出下列二次型的矩阵 其中 巧摊吊势鸣趁难驰琅恒焰活哺傅狱氰即渺能宠卫蕾切垢吉钵挞岂遏丑怂判二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 §5.1 二次型及其矩阵表示 二、非退化线性替换 1、定义 是两组文字, 关系式 ③ 称为由　　　　　　　　　　　的一个线性替换; 若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换 (non-degenerate linear transformation). 嚼步凹措夹窒歼拐做雨砸步绍哨糯步婿焊六工赘纬钵畔捎渔歧琼昏逝裳公二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 §5.1 二次型及其矩阵表示 . 0 是非退化的. 例1 变换 凛饲俐处万羞务拐疮帧祭围绞轴吼刻拜吻楷侈令搬征比墨幌欧溪盂阐比萧二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 §5.1 二次型及其矩阵表示 2、线性替换的矩阵表示 则③可表示为 X=CY　　　　　　　 ④ 若|C| ≠0，则④为非退化线性替换.