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实变函数试卷一答案 一、判断题（每题2分，共20分） 1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。F 2、若是可测函数，则必是可测函数。F 3．设在可测集上可积分，若，则 F 4、A为可数集，B为至多可数集，则AB是可数集.T 5、若，则 F 6、若是可测函数，则必是可测函数F 7．设在可测集上可积分，若，则 F 8、任意多个开集之交集仍为开集 F 9、由于，故不存在使之间对应的映射。F 10、可数个零测度集之和集仍为零测度集。T 二、选择题（每题2分，共12分） 1、下列各式正确的是（ C ） （A）; （B） （C）; （D）以上都不对; 2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ D ） （A） c (B) (C) (D) 3、设是一列可测集，，则有（B ）。 （A） (B) （C）是一列可测集，，且，则有（ A ） （A） (B) （C）f(x)是上绝对连续函数，则下面不成立的是（ B ） (A) 在上的一致连续函数 (B) 在上处处可导 （C）在上L可积 (D) 是有界变差函数 6、设是两集合，则 =（ C ） (A) (B) (C) (D) 三、解答题（每题6分，共18分） 1、设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。 解：在上不是可积的，因为仅在处连续， 即不连续点为正测度集 因为是有界可测函数，所以在上是可积的 因为与相等, 进一步， 2、求极限 . 解：设，则易知当时， 又，但是不等式右边的函数，在上是可积的 故有 3、设求出集列的上限集和下限集 解： 设，则存在N，使，因此时，，即，所以属于下标比N大的一切偶指标集，从而属于无限多，得， 又显然 若有，则存在N，使任意，有，因此若时， ，此不可能，所以 四、证明题（每题10分，共50分） 1、试证 证明：记中有理数全体,令 显然 所以 2、设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。P51 3、设为E上可积函数列，.于E，且，k为常数，则在E上可积. P133 4、设在上积分确定，且于，则在上也积分确定，且 P108 5、设在上,而成立,,则有 P95