第十一章曲线积分与曲面积分.pptVIP

练习： 计算 其中 为 三点相连而得的闭折线. 练习答案： 补充题： 求 其中 为圆周 ， . 作 业 P190, 2, 3(1)(3)(5)(6)(8) * 第十一章 曲线积分与曲面积分 §1 对弧长的曲线积分 实例： 设平面曲线 上点 处的 线密度为 ， 在曲线 上连续， 且 求曲线 的质量 1.将曲线 任分为 个小弧段： , 第 个小弧段 的长度记为 2. 任取一点 ， 第 个小弧段 的质量 3. 求和 将曲线 分得越细， 近似值 就越接近于精确值 . 4. 记最大弧长为 令 ，取极限 ，得 一、定义 设 为 坐标面内的一条光滑曲线弧， 函数 在 上有界。 在 上 任意加入 个分点： 将 任分为 个小弧段. 设第 个小弧段 的长度为 ， 在第 个小弧段 上任取一点 ， 作和 . 记最大弧长为 . 如果极限 存在 ， 则称该极限值 为函数 在曲线弧 上对弧长的曲线 记为 即 积分或第一类曲线积分， 说明： 由实例，得 线密度为 的曲线 的质量 积分弧段 被积函数 弧长元素 二、可积条件 若函数 在平面光滑曲线弧 上连续， 则 存在。 （不证） 说明 上面定义可推广到空间曲线弧 的情形，即 说明 (1) 若 为分段光滑曲线， 例如 ，其中 是光滑曲线 则规定 (2) 若 为封闭曲线， 则记为 三、性质 (1) (2) 这里 , (3) 若在 上， 则 特别地,有 四、计算 定理 设 在曲线弧 上有定义 且连续， 的参数方程为 ， 其中 在 上具有一阶连续导数， 且 ， 则 存在,且 证 变到 假定当参数 由 时， 上对应的点 在 上任意加入 个分点： 对应于一列单调增加的参数值： 就按照由点 到点 的方向描出曲线 按定义，得 (定积分中值定理) 注意 说明 其它情形： (1) 即 为参数. (2) 即 为参数. (3) 例1 计算 ，其中 为圆周： ， . 解 例2 计算 ，其中 为立方抛物线 解 上点 与点 之间的一段弧. 选 为参数. 例3 计算 ，其中 为抛物线 解 上点 与点 之间的一段弧. 选 为参数. 注意： 本题若选 为参数， 计算较繁。 需要分为上下两段， 例4 计算 ，其中 为螺旋线： 上相应于 从 到 的一段弧. 解 * * * *